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MTH 313: PROBABILITE II Tchilabalo Abozou KPANZOU Maître de Conférences en Stat

MTH 313: PROBABILITE II Tchilabalo Abozou KPANZOU Maître de Conférences en Statistique Faculté des Sciences et Techniques Université de Kara Email: kpanzout@gmail.com Page web: https://sites.google.com/a/aims.ac.za/tchilabalo/ MOUSSON 2020-2021 Table des matières 1 ESPACES PROBABILISES - INDEPENDANCE 1 1.1 Notion de tribu et de mesure de probabilité . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Notion de tribu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Mesure de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Espace de probabilité ni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2.1 Probabilité sur un ensemble ni . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2.2 Dé nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.3 Variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.4 Probabilité conditionnelle - évènements indépendants . . . . . 3 1.3 Espace de probabilité discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3.1 Dé nition - loi de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3.2 Espérance mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3.3 Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Espace probabilisé général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4.1 Dé nition et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4.2 Lemme de Borel-Cantelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4.3 Variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4.4 Espérance mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4.5 Evènement presque sûr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4.6 Indépendance de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4.7 Inépendance des évènements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2 VARIABLES ALEATOIRES REELLES ET VECTEURS ALEA- TOIRES 10 2.1 Quelques dé nitions et rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.1.1 Inégalité de Holder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.1.2 Inégalité de Cauchy-Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.1.3 Inégalité de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.1.4 Cp inégalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.1.5 Croissance des espaces Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1.6 Inégalité de Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1.7 Comparaison des normes Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1.8 Moments et moments centrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1.9 Covariance et coe cient de corrélation . . . . . . . . . . . . . 11 2.1.10 Propriétés des variances et covariances . . . . . . . . . . . . . 12 2.1.11 Inégalité de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 i TABLE DES MATIÈRES KPANZOU T.A./FaST/MATH 2.1.12 Inégalité de Bienaymé-Tchebychev . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2 Variables aléatoires discrètes et variables aléatoires absolûment conti- nues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2.1 Variables discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2.2 Variables absolûment continues . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3 Fonction de répartition, densité et fonction génératrice de moments d'une v.a.r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3.1 Fonction de répartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3.2 Densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3.3 Fonction génératrice de moments . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.4 Cas des lois multivariées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.5 Formule de changement de variables dans Rn . . . . . . . . . . . . . . 17 2.6 Fonctions caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.6.1 Dé nition et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.6.2 Critère d'indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.6.3 Calcul des moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.6.4 Formule d'inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.7 Conditionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.7.1 Lois conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.7.2 Espérance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.8 Convergence des suites de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . 20 2.8.1 Convergence en loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.8.2 Convergence en probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.8.3 Convergence presque sûre . . . . . . . . . . uploads/Litterature/ cours-de-probabilite-ii.pdf