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Fonction exponentielle Page 1 sur 15 Propriétés algébriques Exercice 1 Ecrire s

Fonction exponentielle Page 1 sur 15 Propriétés algébriques Exercice 1 Ecrire sous la forme d’une puissance de les expressions suivantes : a) e7 e2 b) (e-1) 4 e c) (exp(e2)) -3 d) e2exp(-3) e) e-3  exp(2) f) exp(1)  exp(-2) Exercice 2 Ecrire plus simplement chacun des nombres suivants : a) ( ) b) exp(ln(3) – 1) c) d) e) Exercice 3 Résoudre dans ℝ les équations suivantes : a) exp(2x – 3) = 1 b) ex = 2 c) e-2x = -2 d) exp(3x + 1) = e1– 5x e) e4x + 1 = 3 f) e2x = e-x Equations − Inéquations Exercice 4 Résoudre dans ℝ les équations suivantes : a) (ex) 2 – 3ex + 2 = 0 b) ex2 – 16 = 144 c) e(x – 4)(2x – 1) = e d) e-x + ex = 2 e) ex – 5 + 6 ex = 0 f) 2ex(ex – 6e-x) = 5ex Exercice 5 Résoudre dans ℝ les inéquations suivantes : a) e3x + 1 > 0 b)  -2 c) e-5x + 2 < 1 d) exp(3x + 14) > -3 e) e2x + 2 – e3x – 5 < 0 Fiche(1) Fonction exponentielle Page 2 sur 15 Etude de la fonction exponentielle Exercice 1 Calculer les limites suivantes : a) lim x  – 3e-2x + 6 b) lim x  + ex + 3 ex c) lim x  + exp( x – 5) d) lim x  + (e2x – ex + 2) e) lim x  + ln(1 + e-x) f) lim x  + e3x – 1 3 – ex Exercice 2 Calculer les limites suivantes : a) lim x  –(e3x – 2ex + 4) b) lim x  – e-2x2 – x + 1 c) lim x  –(e-x – 3e2x – 2) d) lim x  0– 1 ex – 1 e) lim x  0– Exercice 3 1. Démontrer que : pour tout réel x  0, ex + 1 ex – 1 = 1 + e-x 1 – e-x. 2. Utiliser l’écriture la plus adaptée pour calculer les limites suivantes : a) lim x  + ex + 1 ex – 1 b) lim x  – ex + 1 ex – 1 c) lim x  0+ ex + 1 ex – 1 d) lim x  0– ex + 1 ex – 1 Exercice 4 Valider ou infirmer les propositions suivantes : 1. x  exp(x2) est la dérivée de la fonction f définie sur ℝ par : f(x) = exp(x2) 2. x  - e-x est la dérivée de la fonction g définie sur ℝ par : g(x) = e-x 3. x  - 1 e2x est la dérivée de la fonction h définie sur ℝ par : h(x) = 1 ex 4. x  est la dérivée de k définie sur ℝ par : – Exercice 5 Déterminer la dérivée de chacune des fonctions définies ci-dessous en précisant dans chaque cas l’ensemble de validité des calculs. a) f(x) = e-x b) g(x) = e2x – 3ex + 4 c) h(x) = (x + 1)ex d) k(x) = exp( ) e) m(x) = ln(3 + e-x) Exercice 6 Soit f la fonction définie sur ℝ{1} par : . 1. Justifier les éléments contenus dans le tableau de variation de f. x - 1 2 + f ’(x) + + – f + 0 - - 2. Tracer la courbe C dans un repère orthonormé (O ; ⃗, ⃗). -e² 2 Fiche(2) Fonction exponentielle Page 3 sur 15 Etude de fonctions Exercice 1 Soit f la fonction définie sur ℝ par : – dont le tableau de variation est donné ci-contre. 1. Justifier les renseignements consignés dans le tableau en précisant la valeur de a. 2. Résoudre algébriquement l’inéquation f(x)  0. Exercice 2 Partie A- On considère la fonction f définie sur ℝ par : f(x) = x + ex. On appelle C sa représentation graphique dans un repère orthonormé (O ; ⃗, ⃗). 1. Déterminer la limite de f en + et en −. 2. Etudier les variations de f. 3. Déterminer les coordonnées du point de C où la tangente T a pour coefficient directeur 3. 4. Démontrer que l’équation f(x) = 0 a une solution unique . Donner un encadrement de  d’amplitude 10-2. Etudier le signe de f(x) selon les valeurs de x. 5. Démontrer que la droite D d’équation y = x est asymptote à la courbe C en -. Préciser la position de D par rapport à C. Pour quelles valeurs de x la distance entre C et D (mesurée parallèlement à (O ; ⃗)), est-elle inférieure à 0,01 cm ? 6. Représenter C sur [-3 ; 2], ainsi que D et T. Partie B- La courbe  ci-contre représente dans un repère orthonormé la fonction g définie sur ℝ par : . 1. En utilisant ce qui précède, étudier les variations de g. On veillera à donner, dans le tableau de variation, des valeurs exactes. On pourra poser  = g(). 2. Déterminer les limites de g en + et -. 3. Pour m réel, on considère l’équation g(x) = m. Discuter selon la valeur de m le nombre de solutions dans ℝ de cette équation. Exercice 3 Le plan est rapporté à un repère (O ; ⃗, ⃗). La courbe C ci-contre représente la fonction f définie sur * + par : , où a, b et c sont trois réels que l’on se propose de déterminer. On sait que la courbe C contient les points de coordonnées (1 ; 0) et ( ) et admet une tangente parallèle à l’axe des abscisses au point d’abscisse . 1. Par lecture graphique, dresser le tableau de variation de f. 2. Donner , et ( ).. 3. Exprimer en fonction de a, b et c. 4. Déduire des questions précédentes les réels a, b et c. x - + f ’(x) + 0 – f a - 0 Fiche(3) Fonction exponentielle Page 4 sur 15 Etude de fonctions − CORRIGE Exercice 1 Soit f la fonction définie sur ℝ par : – dont le tableau de variation est donné ci-contre. 1. Justifier les renseignements consignés dans le tableau en précisant la valeur de a.  est définie et dérivable sur ℝ. On a Comme est toujours positif, le signe de est le même que le signe de . D’où le tableau de variation.  ( )  Limite en −∞  Limite en +∞ L’écriture de abouti à une forme indéterminée mais ∞ ∞ Donc ∞ Donc 2. Résoudre algébriquement l’inéquation f(x)  0.   Exercice 2 Partie A- On considère la fonction f définie sur ℝ par : f(x) = x + ex. On appelle C sa représentation graphique dans un repère orthonormé (O ; ⃗, ⃗). 1. Déterminer la limite de f en + et en −. ∞ ∞ 2. Etudier les variations de f. est définie et dérivable sur ℝ. On a est une somme de terme strictement positifs donc pour tout , . On en déduit que est strictement croissante. 3. Déterminer les coordonnées du point de C où la tangente T a pour coefficient directeur 3. On cherche tel que soit donc donc les coordonnées du point sont ( ; ) 4. Démontrer que l’équation f(x) = 0 a une solution unique . Donner un encadrement de  d’amplitude 10-2. Etudier le signe de f(x) selon les valeurs de x. et . Sur [−1 ; 0], la fonction est continue et strictement croissante. Elle passe de à donc elle prend une seule fois la valeur intermédiaire 0. Ainsi l’équation admet une unique solution dans l’intervalle [−1 ; 0] que l’on notera α. On déduit du tableau de valeurs ci−contre que . De plus, est négatif si et positif sinon. 5. Démontrer que la droite D d’équation y = x est asymptote à la courbe C en -. Préciser la position de D par rapport à C. Pour quelles valeurs de x la distance entre C et D (mesurée parallèlement à (O ; ⃗)), est-elle inférieure à 0,01 cm ? qui tend vers 0 quand tend vers −∞ donc la droite D asymptote à C en −∞. De plus, pour tout , est toujours positif donc la courbe C est toujours au−dessus de D. 6. Représenter C sur [-3 ; 2], ainsi que D et T. Partie B- La courbe  ci-contre représente dans un repère orthonormé la fonction g définie sur ℝ par : . 1. En utilisant ce qui précède, étudier les variations de g. On veillera à donner, dans le tableau de variation, des valeurs exactes. On pourra poser  = g(). est définie et dérivable sur ℝ. On a . Donc le signe de est celui de . On obtient le tableau de variation suivant : −∞ +∞ Signe de − + Variation de +∞ +∞ 2. Déterminer les limites de g en + et -. uploads/Litterature/ exponentielle.pdf