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Daniel BOICHU Vincent ROBIN MT12 Mathématiques pour l'ingénieur Mise en forme

Daniel BOICHU Vincent ROBIN MT12 Mathématiques pour l'ingénieur Mise en forme du polycopié en L AT EX2εpar Liza Lecarme et Marc Nguyen Table des matières Préliminaires 5 Histoire à suivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 L'intégrale de Lebesgue, par Lebesgue en personne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1 L'intégrale utile du scienti que 8 1.1 Premier niveau de la théorie de l'intégration : intégrale de Riemann . . . . . . . . . . . . 8 1.1.1 Dé nition de l'intégrale des fonctions en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.2 Dé nition de l'intégrale des fonctions bornées sur des intervalles bornés . . . . . . 8 1.1.3 Approximation de l'intégrale par des sommes de Riemann . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Deuxième niveau de la théorie de l'intégration : intégrale de Lebesgue . . . . . . . . . . . 9 1.2.1 Vers la dé nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.2 L'exemple lumineux : la fonction de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.3 L'intégrale de Lebesgue sur R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.4 Intégrale sur une partie mesurable de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.5 L'intégrale sur Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.6 L'intégrale de Lebesgue sur un espace mesuré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.7 Exemples (très instructifs) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.8 Ensemble négligeable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3 Consistance entre les intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4 Troisième niveau de la théorie de l'intégration : l'intégrale impropre . . . . . . . . . . . . 15 1.4.1 Exemple de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.2 Remarque de terminologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.3 Plus généralement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.4 Deux exemples incontournables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.5 Remarque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5 Espaces fonctionnels classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5.2 Mesure de comptage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.6 Exemples (variés) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.6.1 Exemple 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.6.2 Exemple 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.6.3 Exemple 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6.4 Exemple 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6.5 Exemple 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.7 Théorèmes d'interversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.7.1 Théorème de convergence monotone (Levi 1906) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7.2 Théorème de convergence dominée (Lebesgue) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.8 Intégrale dépendant d'un paramètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.8.1 Théorème (continuité de F) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.8.2 Théorème (de dérivation sous le signe somme) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.8.3 Importance de ces théorèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 2 La base des distributions 23 2.1 Introduction heuristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2 Fonction comme fonctionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 uploads/Litterature/ mathematique-appliquee-cours-20.pdf