c ⃝Christophe Bertault - MPSI Nombres complexes 1 Le corps C des nombres comple

c ⃝Christophe Bertault - MPSI Nombres complexes 1 Le corps C des nombres complexes 1.1 Construction à partir du corps R des nombres réels Définition (Loi de composition interne) Soit E un ensemble. On appelle loi de composition interne sur E, ou plus simplement loi (interne) sur E toute application de E × E dans E.    Explication Une loi interne est ce que vous avez appelé une « opération » dans les classes antérieures : l’addition des réels, la multiplication des réels, l’addition des vecteurs. . . Par exemple, l’addition des vecteurs est une loi interne car c’est une façon d’associer, à tout couple (⃗ u,⃗ v) de vecteurs, un autre vecteur que l’on note ⃗ u + ⃗ v. Nous supposons dans ce qui suit que nous connaissons parfaitement l’ensemble R des nombres réels muni de ses deux lois + et × d’addition et de multiplication. Partant de là, nous allons construire le corps C des nombres complexes. • Au commencement est R2. Dans tout ce chapitre, R2 est identifié au plan euclidien qu’on a muni d’un repère orthonormal direct (O,⃗ ı,⃗ ) ; tout vecteur du plan est par là même identifié à ses coordonnées dans le repère (O,⃗ ı,⃗ ). On définit alors sur R2 deux lois de composition internes, notées provisoirement ⊕et ⊗, en posant : ∀(x, y), (x′, y′) ∈R2,  (x, y) ⊕(x′, y′) = (x + x′, y + y′) (x, y) ⊗(x′, y′) = (xx′ −yy′, xy′ + yx′) . En tant qu’il est muni de ces deux lois, R2 est noté C et ses éléments sont appelés nombres complexes. • Nous décidons à présent d’identifier, pour tout x ∈R, le réel x et le nombre complexe (x, 0) ; cela signifie que nous noterons désormais x à la place de (x, 0). Via cette identification, R peut-être vu comme une partie de C. Pour tous x, x′ ∈R, cette identification permet d’écrire :  x ⊕x′ = (x, 0) ⊕(x′, 0) = (x + x′, 0) = x + x′ x ⊗x′ = (x, 0) ⊗(x′, 0) = (xx′, 0) = x × x′ . On voit donc que, sur les réels, ⊕se comporte comme l’addition usuelle + et que ⊗se comporte comme la multiplication usuelle ×. Les lois ⊕et ⊗sont donc des prolongements à C des lois usuelles + et × qui n’étaient pour le moment définies que sur R. Ce résultat nous invite à laisser de côté les notations ⊕et ⊗: désormais, ⊕et ⊗seront notées respectivement + et × et appelées addition et multiplication. Le symbole × sera généralement omis. Définition (Parties réelle et imaginaire d’un nombre complexe) • Soit z = (x, y) ∈C. Le réel x est appelé la partie réelle de z et noté Re(z) ; de même, le réel y est appelé la partie imaginaire de z et noté Im(z). • Pour tous z, z′ ∈C : z = z′ ⇐ ⇒ Re(z) = Re(z′) et Im(z) = Im(z′). ⃗ ı ⃗  b O bz Re(z) Im(z)    Explication Géométriquement, Re(z) est l’abscisse du point z dans le repère (O,⃗ ı,⃗ ), et Im(z) est son ordonnée. Nous avons décidé plus haut de noter 1 l’élément (1, 0), identifié au réel 1 ; nous décidons à présent de noter i l’élément (0, 1). Définition (Forme algébrique d’un nombre complexe) Soit z ∈C. Il existe un couple unique (x, y) de réels tels que z = x + iy. On a en fait x = Re(z) et y = Im(z). Démonstration Pour tous x, y ∈R : x + iy = (x, 0) +  (0, 1) × (y, 0)  = (x, 0) + (0, y) = (x, y). ■    En pratique • L’unicité de la forme algébrique d’un nombre complexe est utilisée fréquemment pour faire des identifications. Elle permet, quand on a une égalité du type a + ib = a′ + ib′, d’écrire que a = a′ et que b = b′. • Retenez bien l’idée suivante : une égalité de nombres complexes, c’est deux égalités de nombres réels. 1 c ⃝Christophe Bertault - MPSI Remarque 8 < : Un nombre complexe est nul si et seulement si ses parties réelle et imaginaire le sont. Un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle. Un nombre complexe dont la partie réelle est nulle est appelé un imaginaire pur. Définition (Affixe d’un point et d’un vecteur, image d’un nombre complexe) • Soit M un point du plan de coordonnées (x, y). On appelle affixe de M le nombre complexe x + iy ; inversement M est appelé l’image de x + iy. • Soit ⃗ u un vecteur de coordonnées (x, y). On appelle affixe de ⃗ u le nombre x + iy.    Explication Dans la mesure où on a identifié R2, C et le plan euclidien, on a en réalité M = (x, y) = x + iy. On conserve cependant les trois notations différentes ; chacune est utile dans son contexte : il est parfois plus facile de penser en termes de points, parfois plus facile de penser en termes de nombres complexes, etc. Le théorème suivant est une conséquence directe d’un théorème que nous avons démontré en géométrie élémentaire du plan. Théorème (Règles de calcul sur les affixes) • Soient ⃗ u et ⃗ v deux vecteurs d’affixes respectifs u et v et λ, µ ∈R. Le vecteur λ ⃗ u + µ ⃗ v a pour affixe λu + µv. • Soient A et B d’affixes respectifs a et b. Le vecteur − → AB a pour affixe (b −a). • Soient A1, A2, . . . , An des points d’affixes respectifs a1, a2, . . . , an et λ1, λ2, . . . , λn des réels. On pose Λ = n X k=1 λk et on suppose que Λ ̸= 0. Le barycentre des points pondérés (A1, λ1), (A2, λ2), . . . , (An, λn) a pour affixe 1 Λ n X k=1 λkak. Nous disposons finalement d’un quadruple point de vue sur un même objet mathématique : R2 est à la fois l’ensemble de couples de réels, le plan euclidien (constitué de points), l’ensemble des vecteurs du plan et l’ensemble C des nombres complexes. Nous allons à présent démontrer les propriétés usuelles des lois + et × sur C. Soient donc z = x + iy, z′ = x′ + iy′ et z′′ = x′′ + iy′′ trois nombres complexes. 1) Commutativité de + : z + z′ = (x, y) + (x′, y′) = (x + x′, y + y′) = (x′ + x, y′ + y) = (x′, y′) + (x, y) = z′ + z. 2) Commutativité de × : zz′ = (x, y)×(x′, y′) = (xx′−yy′, xy′+yx′) = (x′x−y′y, x′y+y′x) = (x′, y′)×(x, y) = z′z. 3) Associativité de + : L’ordre des parenthèses n’a pas d’importance quand on effectue des additions. (z + z′) + z′′ =  (x, y) + (x′, y′)  + (x′′, y′′) = (x + x′, y + y′) + (x′′, y′′) =  (x + x′) + x′′ , (y + y′) + y′′  =  x + (x′ + x′′) , y + (y′ + y′′)  = (x, y) + (x′ + x′′, y′ + y′′) = (x, y) +  (x′, y′) + (x′′, y′′)  = z + (z′ + z′′). 4) Associativité de × : L’ordre des parenthèses n’a pas d’importance quand on effectue des multiplications. (zz′)z′′ =  (x, y) × (x′, y′)  × (x′′, y′′) = (xx′ −yy′, xy′ + yx′) × (x′′, y′′) =  (xx′ −yy′)x′′ −(xy′ + yx′)y′′ , (xx′ −yy′)y′′ + (xy′ + yx′)x′′  =  x(x′x′′ −y′y′′) −y(x′y′′ + y′x′′) , x(x′y′′ + y′x′′) + y(x′x′′ −y′y′′)  = (x, y) × (x′x′′ −y′y′′, x′y′′ + y′x′′) = (x, y) ×  (x′, y′) × (x′′, y′′)  = z(z′z′′). 5) Distributivité de × sur + : z(z′ + z′′) = (x, y) ×  (x′, y′) + (x′′, y′′)  = (x, y) × (x′ + x′′, y′ + y′′) =  x(x′ + x′′) −y(y′ + y′′) , x(y′ + y′′) + y(x′ + x′′)  =  (xx′ −yy′) + (xx′′ −yy′′) , (xy′ + yx′) + (xy′′ + yx′′)  = (xx′ −yy′, xy′ + yx′) + (xx′′ −yy′′, xy′′ + yx′′) =  (x, y) × (x′, y′)  +  (x, y) × (x′′, y′′)  = (zz′) + (zz′′). 6) Existence d’un élément neutre pour + : Cet élément neutre unique est 0. z+0 = (x, y)+(0, 0) = (x, y) = z. 7) Existence d’un élément neutre pour × : Cet élément neutre unique est 1. z×1 = (x, y)×(1, 0) = (x, y) = z. 8) Existence d’un inverse pour + : Tout nombre complexe z possède un inverse unique pour + uploads/Litterature/ cours-nombres-complexes-pdf.pdf

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