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To print higher-resolution math symbols, click the Hi-Res Fonts for Printing button on the jsMath control panel. E Le nombre d’or en mathématique Le 14 janvier 2009, par Pierre de la Harpe Professeur à l'Université de Genève (page web) Texte de vulgarisation mathématique à propos du nombre d’or 61803···. On y montre d’abord l’équivalence de plusieurs déﬁnitions de ce nombre. Puis on décrit le rôle du nombre d’or dans quelques problèmes géométriques (proportions dans un pentagone régulier), ainsi que dans diverses considérations arithmétiques élémentaires et plus avancées (approximation diophantienne, 10ème problème de Hilbert). Les prérequis mathématiques sous–entendus varient considérablement de place en place. Chic J’ai Compris L’essentiel Et c’est pour demain Si le diable est dans les détails [1] Un choix de déﬁnitions N mathématiques, le nombre d’or peut être déﬁni de plusieurs manières, différentes, mais toutes équivalentes au sens où elles déﬁnissent le même nombre. Le choix des déﬁnitions qui suivent, ainsi que leur ordre, relève donc d’une bonne dose d’arbitraire. Déﬁnition 1 : Le nombre d’or est le nombre La notation choisie, la lettre grecque , prononcer « ﬁ » , est l’un des usages courants (un autre est , prononcer à mi-chemin entre « tau » et « tao »). Certains auteurs afﬁrment que le choix de honore le sculpteur grec Phidias, du Vème siècle avant Jésus-Christ. Approximations décimales. Pour les ﬂemmards : de 4 , on déduit d’abord , et par suite 1 . En poussant les calculs un peu plus loin, d’abord puis etc., par exemple jusqu’à ce qu’on trouve (comme dans au moins une page de Wikipedia) 180339887 ou encore un peu plus : 1803398 7498948 8204586 3436563 1177203 9179805 6286213 Voir par exemple ce lien pour les 15 00 premières décimales de . 1 = 2 5 + 1 5 9 2 5 3 5 2 4 4 9 5 8 5 5 2 = 2 2 5 2 3 = 1 6 1 6 4 729 176 3 24 15 2 9 5 5 0 = 2 2 5 2 = 1 6 1 6 1 6 1 6 8 4 8 8 0 7 0 hal-00583463, version 1 - 5 Apr 2011 Manuscrit auteur, publié dans "Images des Mathématiques (2009) http://images.math.cnrs.fr/Le-nombre-d-or-en-mathematique. html" C’est une conséquence de la proposition 2 (voir plus bas) qu’il n’est pas possible d’écrire une valeur exacte en notation décimale avec un nombre ﬁni de chiffres. Déﬁnition 2 : Le nombre d’or est la solution positive de l’équation x . Equivalence avec la déﬁnition 1. L’équation x a deux solutions qui sont et , comme on le vériﬁe par exemple en écrivant Par ailleurs, il est (presqu’) évident que le nombre est positif et que le nombre est négatif. CQFD Remarques. Ainsi, ; il est parfois avantageux d’écrire cela sous la forme Notons par ailleurs que c’est-à-dire que l’autre racine de l’équation de la déﬁnition 2 est précisément Déﬁnition 3 : Le nombre d’or est la proportion telle que, étant donné deux nombres positifs L et tels que L , le rapport de L à L est égal au rapport de L à . Équivalence avec la déﬁnition 2. Si , alors , donc , ou encore de sorte que est bien le nombre de la déﬁnition 2. Réciproquement, soit le nombre de la déﬁnition 2. Choisissons arbitrairement un nombre et posons L . On vériﬁe facilement que , de sorte que est bien le nombre de la déﬁnition 3. CQFD Considérons sur une droite un segment d’extrémités Q et S, de longueur L , avec un point U sur le segment tel que la longueur de QU soit L et celle de US soit . Si , la terminologie classique consiste à dire que : le point U divise le segment QS en moyenne et extrême raison. 2 −x −1 = 0 2 −x −1 = 0 2 1+ 5 2 1− 5 x − 2 1 + 5 x − 2 1 − 5 = x −2 1 2 − 2 5 2 = x2 −x + 4 1 −4 5 = x2 −x −1 2 1+ 5 2 1− 5 2 − −1 = 0 1 = −1 −1 = −2 5 + 1 = −2( ) 5 −1 ( )( ) 5 + 1 5 −1 = 4 −2( ) 5 −1 = 2 1 − 5 618 −1 = 2 1 − 5 −0 0 + L L+ = L = + = +1 = + 1 = 2 0 = L L+ = L = + L L+ = L hal-00583463, version 1 - 5 Apr 2011 Faisons d’abord de la géométrie ... Proposition 1 : Dans un pentagone régulier dont les côtés ont longueur 1, les diagonales ont longueur . Démonstration. Considérons un pentagone régulier de sommets P , dont les côtés ont longueur (PQ) QR) RS) ST) TP) Les cinq diagonales ont aussi même longueur, que nous notons : (PR) QS) RT) SP) TQ) Il s’agit de montrer que . INDISPENSABLE : dessiner une ﬁgure en lisant la suite ! Premièrement, notons U l’intersection des diagonales QS et RT. Les triangles UTQ et URS ont leurs côtés parallèles deux à deux ; ils sont donc semblables, et on a Deuxièmement, le quadrilatère PQUT est un losange (côtés opposés parallèles et donc de même longueur) ; par suite : (QU) PT) Il en résulte que Vu la déﬁnition 3 (où on peut lire L QU) et US)), on a bien . CQFD Cette proposition montre donc l’équivalence des déﬁnitions précédentes avec la déﬁnition suivante. Déﬁnition 4 : Le nombre d’or est le rapport entre la longueur des diagonales et la longueur des côtés dans un pentagone régulier. Remarque : Le nombre d’or apparaît ainsi de manière très simple dans une ﬁgure, le pentagone régulier, qui a exercé depuis la nuit des temps une très grande fascination. La découverte du fait que ce nombre soit irrationnel (voir plus bas) fut un choc considérable pour les géomètres de la Grèce ancienne ; voir [OsWa]. Exercice. Si vous savez ce qu’est un cosinus, montrez que 2 et 2 Indication. Q R S T = ( = ( = ( = ( = 1 = ( = ( = ( = ( = = (US) (QU) = (RS) (QT) = = ( = 1 (QS) (QU) = (PT) (QS) = = (US) (QU) = ( = ( = cos 5 = cos 5 2 = 1 hal-00583463, version 1 - 5 Apr 2011 Dans un pentagone régulier dont les côtés ont longueur 1, on trouve un triangle rectangle dont l’hypothénuse est de longueur 1 et un côté de l’angle droit de longueur 2. Remarque, pour les lecteurs qui savent manipuler l’exponentielle d’un nombre complexe. Voici une autre manière de démontrer la relation de l’exercice précédent : si z et , alors z et et par suite On en déduit d’abord que , et ﬁnalement que . Voici une traduction trigonométrique des quatre lignes qui précèdent, sans nombre complexe. Choisissons l’origine du plan au centre du pentagone, et notons ses sommets dans l’ordre cyclique : z . Montrons d’abord que la somme S de ces quatre vecteurs est nulle. En effet, la moitié de la somme de deux sommets consécutifs est le milieu du côté qui les joint, de sorte que, par exemple (z ) z , où désigne la distance entre l’origine et le milieu d’un côté. Par suite S (z ) (z ) (z ) (z ) (z ) z z z z z S ce qui implique S . Les coordonnées des sommets s’écrivent et S implique 1 Posons provisoirement x . Alors 2 x ) x de sorte que la relation précédente s’écrit 1 x x A priori, on trouve les deux solutions . Or le signe − ne convient pas, car cos 2 x . On trouve donc bien , et donc aussi , comme promis. Exercice. On considère dans le plan un cercle centré en un point O, deux rayons OP et OB perpendiculaires de ce cercle, le milieu D du rayon OB, la bissectrice de l’angle ODP qui coupe le rayon OP en un point N, la perpendiculaire à OP en N qui coupe le cercle en un point Q, et le point symétrique T de Q par rapport à la droite portant le rayon OP. Montrer que , c’est-à-dire que P, Q et T sont trois des cinq sommets d’un pentagone régulier inscrit dans le cercle de départ. (La construction est celle donnée à la page 27 de [Cox—69] ; c’est une variante de la construction d’Euclide. Pour trouver la solution de l’exercice, il faut bien sûr commencer par faire un dessin !) Remarque. Le nombre d’or se retrouve naturellement dans plusieurs rapports de longueurs qui apparaissent dans = e2i 5 (2 5) = z + z 1 = 2 cos 4 + z3 + z2 + z + 1 = 0 2 + −1 = 0 cos(2 5) = 4 −1 5 2 ( 5) (2 5) uploads/Litterature/ le-nombre-d-or-en-mathematique.pdf