Universit´ e Sidi Mohamed Ben Abdellah Ecole Normale Sup´ erieure de F` es Ann´

Universit´ e Sidi Mohamed Ben Abdellah Ecole Normale Sup´ erieure de F` es Ann´ ee Universitaire : 2019-2020 Resp. Youssef Ouakrim Devoir no 2 Fili` ere : LPESPC Module : Analyse II Question de cours : 1. Donner la d´ efinition des sommes de Darboux S(P, f) et s(P, f) o` u f : [a, b] →R fonction born´ ee sur [a, b] et P une subdivision de [a, b]. 2. Donner la d´ efinition de l’int´ egrale au sens de Riemann de f. 3. Application : Soit f : [0, 1] →R d´ efinie par: f(x) =  1 si x ∈Q ∩[0, 1] 0 si x / ∈Q ∩[0, 1] (a) Calculer S(P, f) et s(P, f). (b) f est -elle int´ egrable au sens de Riemann ? Exercice 1: 1. Etudier la nature de Z +∞ 1 2t Lnt (1 + t2)2dx 2. Calculer sa valeur. Exercice 2: Soit f : R+ →R+ une fonction continue v´ erifiant : ∃M > 0 tel que∀x ∈R+ on a f(x) ≤M Z x 0 f(t)dt. 1. Montrer que l’application g d´ efinie par g(x) := exp(−Mx) R x 0 f(t)dt est d´ ecroissante sur R+. 2. Montrer que f est nulle sur R+. Exercice 3: Soit f : [1, +∞[ →R+ une fonction continue tel que R +∞ 1 f(t)dt est convergente. 1. Montrer que pour tout x ≥1, on a 1 x Z x 1 tf(t)dt = F(x) −1 x Z x 1 F(t)dt o` u F(x) = Z x 1 f(t)dt . 2. Montrer que lim x→+∞ 1 x R x 1 tf(t)dt = 0. Exercice 4: On consid` ere l’´ equation diff´ erentielle et l’ensemble suivants (L) (1 −x2)y′ + xy = 1 x −x + x log x sur R∗ + E =  f : R →R continue / f(x) = sin x + 2 Z x 0 f(t) exp(x −t) dt, ∀x  1 1. On pose F(x) = Z x 0 exp(−t)f(t)dt pour tout x. Montrer que si f ∈E, la fonction F est solution d’une ´ equation lin´ eaire (L). 2. R´ esoudre l’Equation lin´ eaire (L). 3. En d´ eduire l’ensemble E. Exercice 5: Soit l’´ equation diff´ erentielle suivante : (E) (1 + x2)2y′′ + 2x(1 + x2)y′ + y = 0 sur R 1. Soit f une solution de (E) sur R. On pose g := f ◦tan g sur −π 2 , π 2  . Montrer que g est une solution d’une ´ equation diff´ erentielle ( e E). 2. R´ esoudre ( e E) sur −π 2 , π 2  . 3. R´ esoudre (E) sur R. 2 uploads/Litterature/ devoir-analyse-ii.pdf

Tags
littérature montrer exercice fonction f(t)dt equation
Documents similaires
  • 13
  • 0
  • 0
Afficher les détails des licences
Licence et utilisation
Gratuit pour un usage personnel Attribution requise
Partager