INSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE STATISTIQUE ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE ISSEA-YAOUNDÉ ÉCO

INSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE STATISTIQUE ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE ISSEA-YAOUNDÉ ÉCOLE NATIONALE DE LA STATISTIQUE ET DE L’ANALYSE ÉCONOMIQUE ENSAE-DAKAR AVRIL 2019 CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES ITS voie A PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Durée de l’épreuve : 4 heures) Attention ! L’exercice 1 de la présente épreuve est obligatoire et toute note strictement infé- rieure à 6 à cet exercice est éliminatoire (chaque question de l’exercice 1 étant notée sur 1 point). Toutefois cet exercice n’entre que pour un cinquième dans la note finale de cette première épreuve de mathématiques. Dans tous les exercices, R désigne l’ensemble des nombres réels et ln le logarithme népérien. On rappelle l’égalité, pour tout entier k ≥1 : k X i=1 i2 = k(k + 1)(2k + 1) 6 . (1) Exercice 1 1. Calculer sous la forme la plus simple possible Z 4 2 dx x ln x. Il vient directement que Z 4 2 dx x ln x = ln ln 4 −ln ln 2 = ln (2 ln 2) −ln ln 2 = ln 2 + ln ln 2 −ln ln 2 = ln 2 1 2. Donner le domaine de définition et la dérivée de la fonction f(x) = ln x −2 ln x + 1. f est définie sur ]0, 1/e[∪]1/e, +∞[ et pour tout x de son domaine de définition, f′(x) = 3 x (ln x + 1)2 3. Donner la limite en +∞de la fonction f(x) = e 4x3−1 x2 . Quand x →+∞, (4x3 −1)/x2 →+∞et donc f(x) →+∞. 4. Donner la limite en x = 0 de la fonction de la question précédente. Quand x →0, (4x3 −1)/x2 →−∞et donc f(x) →0. 5. Ecrire le nombre complexe z = 4 −4 √ 3i sous forme trigonométrique. z = 8 cos −π 3  + sin −π 3  . 6. Si on vous demande d’étudier les variations de la fonction f(x) = sin 3x cos x , expliquer quel intervalle d’étude vous choisissez, et comment vous étendez vos résultats à l’ensemble du domaine de définition de f. f est de période π, et impaire. Il suffit donc de l’étudier sur l’intervalle [0, π/2[, d’en déduire par parité l’étude sur ] −π/2, 0] puis de compléter par périodicité à l’ensemble de définition de f (c’est-à-dire R privé des points de la forme π/2 + kπ, avec k entier). 7. Un sac contient dix boules numérotées de 1 à 10. On sort trois boules simultanément. Donner la probabilité pour que le numéro d’au moins une de ces boules soit un multiple de 5. Il existe 10 × 9 × 8 = 720 tirages possibles de 3 de ces 10 boules. Comme les boules 5 et 10 sont les seules dont le numéro est un multiple de 5, il reste 8 boules dont les numéros ne sont pas des multiples de 5, et donc 8 × 7 × 6 = 336 tirages possibles de 3 boules parmi ces 8. La probabilité qu’au moins une des boules tirées soit un multiple de 5 est donc p = 1 −336 720 = 8 15. 8. Etudier la convergence de la suite définie par un = n − √ n2 −n. En multipliant au nominateur et au dénominateur par la quantité conjuguée, on trouve un = n n + √ n2 −n = 1 1 + q 1 −1 n et donc la suite (un) tend vers 1/2. 2 9. Soit (un) la suite définie par u0 = 0 et un+1 = 1 + un 3 −un pour n ≥1. On admettra que un < 1 pour tout n ≥0. Montrer que la suite définie par vn = 1 un−1 est une suite arithmétique, et en déduire l’étude de la convergence de la suite (un). Un calcul sans problème montre que vn+1 = vn −1/2. Par conséquent, la suite (vn) est une suite arithmétique tendant vers −∞, et comme un = 1 + 1/vn, on en déduit que un tend vers 1. 10. Résoudre l’equation x2 + ix + 1 = 0 dans C, puis dans R. Le discriminant de cette équation vaut -5 : les solutions dans C sont donc i(−1 + √ 5)/2 et i(−1 − √ 5)/2. Il n’y a pas de solution réelle. Exercice 2 1. a étant un réel strictement positif, on considère la fonction f(x) = 1 2  x + a x  définie pour tout x > 0. (a) Résoudre l’équation f(x) = x. On se ramène à une équation du second degré dont l’unique solution positive est x = √a. (b) Etudier les variations de la fonction f en précisant notamment la nature de ses branches infinies, et tracer le graphe de f dans le cas où a = 4. La dérivée de f, définie pour tout x > 0, vaut f′(x) = 1 2  1 −a x2  et est donc négative pour x < √a, nulle en √a, et positive pour x > √a. On en déduit que f est décroissante sur ]0, √a[, et croissante sur ]√a, +∞[. Un calcul immédiat montre qu’il y a une asymptote verticale d’équation x = 0, et que f tend vers l’infini en l’infini. Comme f(x) −x/2 tend vers 0 en +∞, on en déduit l’asymptote oblique y = x/2, la courbe de f restant au-dessus de l’asymptote. Le graphe de f s’en déduit aisément. 2. On considère un nombre u0 > √a et la suite définie par un+1 = f(un) pour n ≥0. (a) Déduire de la question précédente que pour tout n, un > √a. Comme f est croissante sur ]√a, +∞[, partant de u0 > √a, une récurrence immédiate prouve que si un > √a, un+1 = f(un) > f(√a) = √a d’où le résultat 3 (b) Montrer que la suite (un) est monotone, et convergente vers une limite qu’on précisera. D’après la question précédente, f(un) < 1/2(un + u2 n/un) = un. La suite (un) est donc décroissante. Comme elle est minorée par √a, elle converge vers une limite l vérifiant f(l) = l, et on tire de la première question que l = √a. 3. On considère désormais la suite (vn) définie par vn = un −√a (a) Montrer que vn+1 = v2 n 2un . Il suffit d’écrire vn+1 en fonction de un et de tout mettre au même dénominateur pour obtenir le résultat. (b) En déduire que vn ≤2√a  v0 2√a 2n . Il suffit d’exprimer que un > a dans l’égalité précédente, et de raisonner par induction. 4. Déduire de ce qui précède une méthode pour approcher numériquement la racine carrée d’un nombre donné. Pour approcher numériquement √a, il suffit de partir d’une valeur u0 > √a (par exemple a si a > 1 ou 1 si a < 1), et d’itérer la suite un. 5. Montrer que si on veut approcher √ 5 par cette méthode en partant de u0 = 3, la précision est meilleure que 10−4 dès la troisième itération. En utilisant que √ 5 < 3 et que √ 5 2n = 52n−1, on trouve que v3 < 3, 75 × 10−5 < 10−4, d’où le résultat. 4 Exercice 3 1. On considère la fonction φ qui à x associée φ(x) = ln x + 1 −x 1 −2x (a) Donner le domaine de définition de la fonction φ ainsi que ses limites aux bornes de ce domaine de définition. φ est définie sur ]0, 1/2[∪]1/2, +∞[. Elle a pour limites −∞en 0+, +∞en 1/2−, −∞ en 1/2+, et +∞en +∞. (b) Calculer la dérivée φ′ de φ, et en déduire le tableau de variations de φ. Un calcul standard montre que φ′(x) = 1 −4x + 5x2 (1 −2x)2 . Le signe du numérateur est constant, donc on a phi′(x) > 0 pour tout x appartenant au domaine de définition de φ. Par suite, φ est croissante sur chacun des intervalles ]0, 1/2[ et ]1/2, +∞[, d’où le tableau de variations. (c) Faire l’étude des branches infinies de φ φ admet deux asymptotes verticales, d’équations x = 0 et x = 1/2. De plus, en +∞, φ(x)/x tend vers 0 en vertu de la croissance comparée du logarithme népérien et des fonctions puissances, donc φ y admet une branche parabolique de direction l’axe Ox. (d) Montrer que l’équation φ(x) = 0 admet deux solutions. Donner la solution évidente, et placer l’autre, qu’on notera α, par rapport à 1/2. φ est continue et strictement croissante de −∞à +∞sur chacun des intervalles ]0, 1/2[ et ]1/2, +∞[. Par le théorème des valeurs intermédiaires, elle s’annule donc une fois sur chacun de ces intervalles. 1 est une solution évidente de l’équation φ(x) = 0, l’autre solution α se trouve donc entre 0 et 1/2. 2. On s’intéresse maintenant à la fonction f qui à x > 0 associe f(x) = e(x−x2) ln x. (a) Calculer f′(x). Par un calcul standard, f′((x) = [(1 −2x) ln x + 1 −x] e(x−x2) ln x. 5 (b) En vous aidant de la partie précédente, déterminer uploads/Litterature/ its-a-2019-corriges.pdf

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