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©2018, Ch. Tous Droits réservés. Travaux Dirigés de l’UE TAA211. Matrices et sy

©2018, Ch. Tous Droits réservés. Travaux Dirigés de l’UE TAA211. Matrices et systèmes linéaires Ecole Internationale d’ingénierie Pétrolière. (EIIP) OPERATIONS SUR LES MATRICES Exercice 1. Soit A = 2 3 1 4 0 −1 2 1 5 0 6 0 et B = 2 3 −1 0 0 1 1 2 . Les produits AB, BA, BT AT et AT B sont-ils bien déﬁnis ? Si oui les calculer. Exercice 2. 1. Trouvez deux matrices carrées A et B de taille 2 × 2 telles que AB ̸= BA . 2. Montrez que si B est un multiple réel de la matrice carrée identité de type (2,2), alors AB = BA pour toutes les matrices carrées d’ordre 2 Exercice 3. Calculer les produits matriciels : 2 1 3 2 1 −1 1 1 ; 1 2 0 3 1 4 −1 −1 0 1 4 −1 2 1 2 ; a b c c b a 1 1 1 1 a c 1 b b 1 c a Exercice 4. Soient deux matrices, A = 1 0 0 0 ;B = 0 1 1 0 : Calculer les matrices : AB, BA, A2, B2, A2 −B2, (A + B)(A −B), A2 + B2 + 2AB, (A + B)2. Exercice 5. Trouver les matrices qui commutent avec A = 1 1 1 2 : Faire de même avec B = a b 0 a Exercice 6. On considère les matrices : a) A = 0 1 1 0 ; b) A = 1 1 0 1 ; c) A = 0 1 t 0 Déterminer An pour tout entier n ≥2. Exercice 7. Si A = 7 4 −9 −5 , Montrer que pour tout entier naturel n non nul, An = 1 + 6n 4n −9n 1 −6n Exercice 8. Considérons la matrice A = 4 −3 1 0 1. a) Montrer que A2 = 4A −3I2. b) Montrer par récurrence que : ∀n ∈N∗, An = 3n −1 2 A + 3 −3n 2 I2. 2. Soit (un) une suite de nombres réels vériﬁant la relation de récurrence un+1 = aun + bun−1 ; où a et b sont des constantes. a) Montrer que un+1 un = A un un−1 où A = a b 1 0 b) En déduire un+1 un en fonction de u1 u0 c) Si a = 4 et b = −3, exprimer un en fonction de u1 et u0. 1 ©2018, Ch. Tous Droits réservés. Exercice 9. Calcul des puissances d’une matrice. 1. Soit A = 1 1 0 0 1 1 0 0 1 et soit B = A −I3. a) Calculer B2, B3 en déduire une formule de récurrence que l’on démontrera pour Bn, pour tout entier n. b) Développer (B + I3)n par la formule du binôme et simpliﬁer. c) En déduire An Pour tout entier n. 2. Soit A = 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 : Pour tout entier n ; calculer An en utilisant A −I4 : DETERMINATION DU RANG D’UNE MATRICE Exercice 10. Chercher les rangs des matrices suivantes : A1 = 1 2 −4 −2 −1 0 −2 4 2 0 1 1 −2 −1 1 . A2 = 0 −1 2 −2 −7 −7 2 −8 0 4 −6 6 2 −2 0 −2 . A3 = 1 7 2 5 −2 1 1 5 −1 2 1 4 1 4 1 2 . A4 = 1 1 1 1 2 0 2 1 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 3 1 −1 1 1 0 Exercice 11. 1. Chercher rg 1 −1 0 1 m 1 −1 −1 1 −m 1 0 1 −1 m 2 en fonction de m ∈C. 2. Chercher rg λ 1 5 −1 4 λ 3 −1 5 et le cas échéant, donner une relation de dépendance linéaire entre les lignes. MATRICES INVERSIBLES Exercice 12. Soit A = 0 1 1 1 0 1 1 1 0 . Calculer A2 et vériﬁer que A2 = A + 2I3 ; où I3 est la matrice identité 3 × 3. En déduire que A est inversible et calculer son inverse. Exercice 13. Calculer les inverses des matrices suivantes : A = −3 2 −1 2 0 1 −1 2 1 ; B = 2 4 3 0 1 1 2 2 −1 ; C = 1 1 0 0 1 1 1 1 0 ; D = 1 1 1 1 1 1 −1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 −1 −1 2 ©2018, Ch. Tous Droits réservés. CALCUL DES DETERMINANTS Exercice 14. Soit A et B deux matrices (3, 3) qui ne diﬀèrent que par leur première ligne. Vériﬁer que det(A + B) = 4(detA + detB). Exercice 15. Soient a, b, c des nombres réels, Calculer les déterminants : (En donnant si possible, les résultats sous une forme factorisée) 1 a a2 1 b b2 1 c c2 ; 4 2a 2a2 2 b b2 4 2c 2c2 ; 1 1 1 1 1 1 cos c cos b 1 cos c 1 cos b 1 cos b cosa 1 ; Exercice 16. Calculer les déterminants : D1 = 16 5 −9 16 9 −11 −13 −6 −14 ; D2 = 3 2 −5 4 −5 2 8 −5 −2 4 7 −3 2 −3 −5 8 ; D3 = 1 1 1 b + c a + c a + b bc ab ab ; D4 = x a b c a x b c a b x c a b c x ( Mettre D3 et D4 sous forme factorisée) RÉSOLUTION DES SYSTÈMES LINÉAIRES Exercice 17. Résoudre les systèmes suivants : 1) 8 > < > : 2x + y + 3z = 0 x + y −5z = −3 −x + 2y + 7z = 1 x −2y −4z = 3 , 2) 8 > < > : −x + 2y + z −t = 2 x −y −z + 2t = 3 −x + 3y + z + t = 4 −2x + 5y + z −2t = 6 , 3) 8 > < > : 3x + y −3z + 2t = 7 x −2y + z −t = −9 2x −3y −2z + t = −4 −x + 5z −3t = −11 Exercice 18. Résoudre le système d’équations linéaires suivant : 8 > < > : x + y + 2z = a x + 2y + z = b 3x + 4y + 5z = c 2y + 3z = d On discutera de l’existence de solutions en fonction des valeurs de (a, b, c, d). Exercice 19. Soit (m, a, b, c) ∈R4. Résoudre le système 8 < : 2x + y −z = a x + my + z = b 3x + y −mz = c Commentaire sur cet exercice : utilisation du rang pour résoudre un système linéaire. (Le rang du système donnant la nature de l’ensemble des solutions) 3 uploads/Litterature/ eiip-td-matrice-1.pdf