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Séries : :SET - MTI - MTGC Page 1 sur 2 Adama Traoré Professeur Lycée Technique

Séries : :SET - MTI - MTGC Page 1 sur 2 Adama Traoré Professeur Lycée Technique --------------------------------------------------------------------------------------------------------- SESSION DE JUIN 1978 SÉRIES : S.E.T- M.T.I - M.T.G.C EPREUVE DE : MATHÉMATIQUES (connaissance) Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako ------------------------------------------------------------------------ EXERCICE I : Calculer les intégrales suivantes : 1° ) ∫ + + 1 0 4 ) 1 ( 3 dx x x ; 2° ) ∫4 0 2 2 ) cos (sin π dx x x EXERCICE II : On considère un sac contenant 3 boules rouges et 6 boules vertes. On tire de ce sac une boule, on constate sa couleur, on le remet dans le sac et on tire de nouveau une boule. On désigne par x le nombre de boules rouges obtenues au bout des 2 tirages et par y le nombre de boules vertes obtenues. 1° ) Déterminer les lois de probabilité respectives de x, de y. 2° ) Déterminer l’espérance mathématique et la varia nce de x et de y. EXERCICE III : ℂ désignant le corps des nombres complexes, soit f l’application de ℂ dans ℂ définie par : f (z) = z 3 – 3(1+i) z 2 + (3+10i) z + 3(1– 3i) 1° ) Calculer les nombres complexes a, b, c pour que: f (z) = (z – 1–i) (az2 + bz + c) 2° ) Résoudre dans ℂ l’équation f (z) = 0 3° ) Montrer que les points images dans le plan co mplexe, des solutions de cette équation sont alignés. EXERCICE IV : Soit N un entier naturel tel que, en numération décimale, N s’écrive abcd et que l’entier qui s’écrit bcda soit divisible par 7. 1° ) Montrer que si a = 7, alors – 10N ≡ 0 (mod 7) ; en déduire que pour cette valeur de a, N est divisible par 7. 2° ) Montrer que 10N – 3a est divisible par 7 ; en déduire que si N est divisible par 7 alors a = 7. EXERCICE V : 1° ) Dresser le tableau des variations de la fonctio n numérique g définie par : g (x) = 1 – x e –x . En déduire que g (x) ≥ 0 ∀ x ε ℝ. On pose : e 1/2=1,65 et e3/4 = 2,12. 2° ) Soit f la fonction numérique définie par : f ( x) = x + (x+1) e – x ; calculer : f ( 4 3 − ) et f ( 2 1 − ). En déduire qu’il existeα ∈] 4 3 − ; 2 1 − [ tel que : f (α ) = 0. (On ne cherchera pas à calculer α ). Séries : :SET - MTI - MTGC Page 2 sur 2 Adama Traoré Professeur Lycée Technique ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- SESSION DE JUIN 1978 SÉRIES : S.E.T- M.T.I - M.T.G.C EPREUVE DE : MATHÉMATIQUES (composition) Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako -------------------------------------------------------------------------- On rappelle que l’ensemble F des fonctions de ℝ vers ℝ , définies et dérivables en tout réel x , est un espace vectoriel sur ℝ; si f ∊F, on note ' f et ' ' f les fonctions dérivées premières et secondes de f quand ' ' f existe ; a et b étant deux nombres réels non nuls, on considère les fonctions 1 f et 2 f de ℝ vers ℝ définies par : ∀x∊ℝ ) cos( ) ( 1 bx e x f ax = et ) sin( ) ( 2 bx e x f ax = . Soit E le sous-espace de F engendré par 1 f et 2 f . 1°) Montrer que ( ) 2 1 ; f f B= est une base de E. Dans la suite du problème, on supposera que E est un espace vectoriel euclidien dont B est une base orthonormée. 2°) Soit α un réel donné ; si f ∊E, montrer que la fonction g définie par : ∀x∊ℝ, ) ( ) ( α + = x f x g est un élément de E. On pose ( ) g f = α ϕ ; on définit ainsi une application α ϕ de E dans E. Calculer ( ) 1 f α ϕ et ( ) 2 f α ϕ en fonction de 1 f et 2 f . a) Montrer que α ϕ est linéaire et déterminer sa matrice α M dans la base B. b) En déduire que α ϕ est la composée d’une homothétie vectorielle et une rotation vectorielle dont on déterminera respectivement le rapport et l’angle. c) Soit ( )∈ β α ; ℝ2 ; comparer ( ) 1 f β α ϕ + et ( ) ( ) 1 f β α ϕ ϕ o ainsi que ( ) 2 f β α ϕ + et ( ) ( ) 2 f β α ϕ ϕ o . On pourra utiliser les matrices α M et β M . Montrer que β α β α ϕ ϕ ϕ o = + . 3°) a) Montrer que si si f ∊E, alors ' f ∊E. on note Φ l’application de E dans E qui à f associe ' f . Montrer que Φ est une application linéaire et déterminer la matrice D dans la base B. b) Montrerque D est inversible et calculer D–1. Vérifier que D2–2aD+(a2+b2)I = O (où I désigne la matrice carrée d’ordre 2 et O la matrice de l’application identiquement nulle). En déduire que ∀f ∊E, ∀x∊ℝ, 0 ) ( ) ( ) ( ' 2 ) ( ' ' 2 2 = + + − x f b a x f a x f . c) r étant un réel non nul, calculer les limites suivantes : x x r x ) sin( lim 0 → ; x ex x 1 lim 0 − → ; x a rx x 1 lim 0 − → d) Montrer que : α α α α α α α 1 lim 1 ) cos( lim 0 0 − = − → → a a e b e . Calculer la matrice ( ) D I M − − α α 1 et montrer que chacun de ses éléments tend vers 0 quand α tend vers 0. 4°) Soient 2 2 1 1 f r f r g + = et 2 2 1 1 f t f t f + = deux éléments de E. Calculer 1 t et 2 t en fonction de 1 r et 2 r pour qu’on ait ( ) f g Φ = . Déterminer alors les primitives de 1 f et 2 f dans E. 5°) n étant un entier naturel, calculer ∫ = π 0 ) cos( dx nx e U ax n et ∫ = π 0 ) sin( dx nx e V ax n . Calculer n n U ∞ + → lim et n n V +∞ → lim . uploads/Litterature/ bac-78.pdf