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www.etudelibre.com UNIVERSITE DE YAOUNDE I Ecole Normale Supérieure de Yaoundé

www.etudelibre.com UNIVERSITE DE YAOUNDE I Ecole Normale Supérieure de Yaoundé Concours d’entrée en première année du premier cycle Série : Mathématiques Epreuve : Analyse-Algèbre-Probabilités Durée : 3h Session : 2011 Exercice 1/ 8points Pour tout réel m, on désigne par (Cm) la courbe représentative de la fonction fm déﬁnie de [0; +∞[ vers R par fm(x) = ln mx−1 m−x . 1. Déterminer l’intersection de toutes les courbes (Cm). [0,5pt] 2. Déterminer suivant les valeurs de m, le domaine de déﬁnition Dm de fm. [1pt] 3. On suppose que m ̸= 0. (a) Montrer que pour tout x ∈Dm, fm(x) = −f 1 m(x). [0,5pt] (b) En déduire une méthode de construction de (C 1 m) à partir de (Cm). [0,5pt] 4. On pose que f = f2 et g = f−10. (a) Dresser le tableau de variation de f et de g. [1pt] (b) Construire (C2) et (C−10) dans un même repère orthonormé (unité : 2cm). [1,5pt] (c) Déterminer l’aire du domaine (E) des points M(x, y) tels que 1 ≤x ≤3 2 0 ≤y ≤f(x) . [1pt] (d) Montrer que f est une bijection de D2 vers R, puis déterminer f −1(x). [1pt] 5. On pose h(x) = min(f(x), g(x)). Par simple lecture graphique, (a) Déterminer le domaine de déﬁnition de h. [0,5pt] (b) Représenter distinctement la courbe (C) de h. [0,5pt] Exercice 2/ 6points Pour tout entier naturel n ≥1, on pose un = Z π/2 0 cos x + (−sin x)n cos x 1 + sin x dx. Soit L = Z π/2 0 cos x 1 + sin xdx. 1. Déterminer L. [0,5pt] 2. Montrer que un+1 −un = Z π/2 0 (−sin x)n cos xdx, puis calculer un+1 −un. [0,75pt+0,75pt] 3. Montrer par récurrence que ∀n ∈N⋆, un = 1 −1 2 + 1 3 + · · · + (−1)n n+1 . [1pt] 4. Montrer que ∀n ∈N⋆, |un −ln 2| ≤ Z π/2 0 (sin x)ndx. [1pt] 5. En déduire que (un) est convergente et déterminer sa limite. [0,5pt+0,5pt] 6. On pose an = (2n + 2)(un+1 −un) et bn = (−1)n un+1−un. Montrer que (an) est géométrique et que (bn) est artihmétique. [0,5pt+0,5pt] Exercice 3/ 3points 1. Montrer que 2011 est un nombre premier. [0,75pt] 2. Déterminer le plus petit nombre premier pluss grand que 2011. [0,75pt] 3. On pose Z = 3 −2 √ 3 + (2 + 3 √ 3)i 12 + 8i !2011 . (a) Ecrire 3 −2 √ 3 + (2 + 3 √ 3)i 12 + 8i sous forme algébrique. [0,5pt] www.etudelibre.com (b) En déduire la partie réelle et la partie imaginaire de Z (sans cosinus, ni sinus). [1pt] Exercice 4/ 3points Dans une population, 55% des familles (groupe A) ont une voiture, 80% des familles (groupe B) ont un téléviseur et 15% des familles (groupe C) n’ont ni voiture, ni téléviseur. 1. On choisit hasard une famille de cette population. Déterminer la probabilité que : (a) Cette famille ait une voiture et un téléviseur. [0,75pt] (b) Cette famille ait un téléviseur sachant qu’elle a une voiture. [0,75pt] 2. On suppose que 5% des familles du groupe A (groupe B non compris) abandonnent leurs voitures, 5% des familles du groupe B (groupe A non compris) abandonnent leurs téléviseurs et 10% des familles du groupe C achètent chacune un téléviseur et une voiture. Reprendre les calculs des probabilités ci-dessus. [0,75pt+0,75pt] uploads/Litterature/ epreuve-danalyse-ens-yaounde-2011.pdf