Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

UNIVERSITE HASSAN II Année Universitaire : 2011/2012 Faculté des Sciences Aïn C

UNIVERSITE HASSAN II Année Universitaire : 2011/2012 Faculté des Sciences Aïn Chock CASABLANCA SMI/SMA (S4) Département de Mathématique & Informatique EXERCICES SUPPLEMENTAIRES A FAIRE chafiai-num.com Question de cours (1 pt) 1) Donner la définition d’un algorithme numérique (1 pt) 2) Que signifie une méthode numérique stable ? (2 pts) 3) Soit A une matrice. Donner la valeur du rayon spectrale de A, noté (A). Quelle est l’ expression de (A) dans le cas où A est symétrique définie-positive ? (1 pt) 4) Que signifie que la matrice A =  i = 1,...,n ij j = 1,...,n a est à diagonale strictement dominante ? (2 pts) 5) Est-ce que toute matrice inversible admet la décomposition LU. Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’une matrice carrée admette une décomposition LU (4 pts) 6) Donner les algorithmes et l’ordre de convergence des méthodes suivantes : a) méthode de dichotomie b) méthode de la sécante. c) méthode de Newton. d) méthode de la fausse position PARTIE II. Exercice 1 1) Donner un intervalle de séparation de longueur 1 au plus pour chacune des racines positives de : a) sinx x 2 = 0 b) x  ex = 0 c) x2  sin x = 0 d) x x 2cos 0 2          e) (x  1)2  x e  = 0. 2) Utiliser la méthode de dichotomie pour obtenir les racines avec 2 décimales puis avec 3 décimales en indiquant le nombre d’itérations effectuées. 3) Quel est le nombre d’itérations nécessaires pour avoir une erreur d’ordre 105 . Exercice 2 Soit f(x) = x3  x  1. On se propose de trouver les racines réelles de f. 1) Montrer que f possède une racine réelle  compris entre 1 et 2. 2) Etudier la convergence des 3 méthodes suivantes : a)   o 3 n n+1 x 1,2 x x 1       b)     13 o n n+1 x 1,2 x x 1         c)   o n+1 2 n x 1,2 1 x x 1         . Exercice 3 Soit f une fonction dérivable sur [a, b] et ayant une racine unique  dans [a, b]. Soit F(x) = x  f(x), on suppose que F est à valeurs dans [a, b] et que |F(x)|  q, x[a, b]. On considère la suite xn+1 = F(xn), xo[a, b] et n  0. 1) Montrer que : |xn+1  xn|  qn |x1  xo|. 2) En déduire que |x  |  n q 1 q  |x1  xo|. 3) Conclure. Exercice 4 Utiliser une méthode itérative de votre choix pour déterminer les racines des équations suivantes avec 5 décimales exactes : a) 3x  cos x = 0 b) 3x2 + tg x = 0. Exercice 5 Soit I = [xoa, xo+a] et F fonction strictement contractante sur I et vérifiant : |F(xo)  xo|  (1 k)a. Montrer que l’itération xoI, xn+1 = F(xn) converge vers l’unique point fixe ℓ de F avec ℓI. Exercice 6 On se propose de déterminer la racine  de l’équation x3+ x = 1000 sur [9,10] à 104 près. 1) Trouver une fonction F définie sur [9, 10] telle que : F() =  et |F(x)|  q < 1 , x[9, 10]. 2) Déterminer à partir de quelle itérative n, on peut avoir la racine  à  près. 3) Application :  = 104 , xo = 10. Exercice 7 Soit f une fonction dérivable sur [a, b] telle que 0 < m  f (x)  M x[a, b]. On pose F(x) = x   f(x) 1) Déterminer  telle que ' F (x)   q < 1. 2) Conclure. Exercice 8 1) Vérifier que le calcul de l’inverse d’un scalaire  par la méthode de Newton, correspond à la méthode itérative xk+1 = xk(uv xk) , k  0, u et v à déterminer. 2) Etudier la convergence de cette méthode suivant les valeurs de xo. Exercice 9 Pour calculer la racine de f(x) = 0, on utilise la méthode des approximations successives suivants : xo , xn+1 = F(xn) avec |F(x)| < 1 et F de classe C1. 1) Soit en = xn  , déterminer n + n 1 n e lim e   . 2) Soit la suite (yn) définie par : yn = 2 n n 2 n 1 n n+2 n 1 x x x x x x       , montrer que (yn) converge et déterminer sa limite. 3) Calculer n + n n y lim x       . Que peut-on conclure ? Exercice 10 Soit la suite définie par : xn+1 = n x e , xo = 0 1) Calculer xk pour k = 1, …, 7. 2) Déterminer la suite yn+1 = F o F(yn) avec F(x) = x e. Calculer yk pour k = 1,…, 7 . 3) Conclure. Partie III. Question de cours 1) Donner une définition de l’Analyse Numérique. 2) Donner les trois types d’algorithmes généralement utilisés en Analyse Numérique. 3) Que signifie que la matrice A =  i = 1,...,n ij j = 1,...,n a est à diagonale strictement dominante ? 4) Donner les algorithmes et l’ordre de convergence des méthodes suivantes : a) méthode de dichotomie b) méthode de la sécante. c) méthode de Newton. d) méthode de la fausse position Exercice 1 Soit A = 2 2 1 a b 2         . Donner des conditions sur a et b pour que la méthode de Jacobi converge. Exercice 2 1) Résoudre le système linéaire suivant : 1 2 3 3 1 0 x 1 2 1 1 x = 0 2 1 4 x 1                                   a) En utilisant la méthode de Cramer. b) En utilisant la méthode de Gauss. 2) Déterminer dans chacun des deux cas, le nombre d’opérations élémentaires nécessaires pour résoudre le système. 3) Conclure . uploads/Litterature/ exercices-a-faire-an-num-smi-sma-s4.pdf