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Date de publication : 10 octobre 2001 Pour toute question : Service Relation cl

Date de publication : 10 octobre 2001 Pour toute question : Service Relation clientèle Techniques de l’Ingénieur Immeuble Pleyad 1 39, boulevard Ornano 93288 Saint-Denis Cedex Par mail : infos.clients@teching.com Par téléphone : 00 33 (0)1 53 35 20 20 Réf. : AF165 V1 Probabilités - Présentation Cet article est issu de : Sciences fondamentales | Mathématiques par Sylvie MÉLÉARD Document téléchargé le : 10/11/2019 Pour le compte : 7200038811 - universite d'orleans // 194.167.30.107 © Techniques de l'Ingénieur | tous droits réservés Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur AF 165 − 1 Probabilités Présentation par Sylvie MÉLÉARD Ancienne élève de l’École normale supérieure de Fontenay-aux-Roses Agrégée de mathématiques Professeur de mathématiques à l’Université Paris 10 Habilitation à diriger des recherches en Probabilités ’objet de la théorie des probabilités est l’analyse mathématique de phéno- mènes dans lesquels le hasard intervient. Ces phénomènes sont appelés des phénomènes aléatoires. Un phénomène est dit aléatoire si, reproduit maintes fois dans des conditions identiques, il se déroule chaque fois différemment de telle sorte que le résultat de l’expérience change d’une fois à l’autre de manière imprévisible. 1. Phénomènes aléatoires .......................................................................... AF 165 - 2 2. Idée majeure : le traitement statistique ............................................ — 2 3. Importance du mouvement brownien................................................ — 3 4. Processus de Poisson ............................................................................. — 4 Références bibliographiques — 4 L Parution : octobre 2001 - Ce document a ete delivre pour le compte de 7200038811 - universite d'orleans // 194.167.30.107 Ce document a ete delivre pour le compte de 7200038811 - universite d'orleans // 194.167.30.107 Ce document a ete delivre pour le compte de 7200038811 - universite d'orleans // 194.167.30.107 tiwekacontentpdf_af165 v1 PROBABILITÉS ________________________________________________________________________________________________________________________ Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. AF 165 − 2 © Techniques de l’Ingénieur 1. Phénomènes aléatoires On peut donner des exemples variés de tels phénomènes : — jeu de pile ou face ; — jeu de lancer de dés ; — durée de vie d’une ampoule électrique ; — temps de passage d’un bus ; — promenade d’un ivrogne : un pas en avant, un pas en arrière... ; — trajectoire d’une poussière de pollen sur la surface de l’eau d’un vase. Dans les deux premiers exemples, la différence entre les résultats, si on réitère l’expérience, peut être liée à l’impulsion initiale commu- niquée au dé, à la rugosité de la table, aux vibrations du plancher... Le hasard n’est donc en fait que l’illustration de la méconnaissance des conditions initiales, car la pièce ou le dé ont des trajectoires par- faitement déﬁnies par la mécanique classique. ■Ainsi, toutes ces expériences présentent comme point commun des variations liées à la présence de facteurs secondaires inﬂuant sur le résultat de l’expérience qu’on ne sait pas contrôler. Il est évi- dent que tous les effets physiques dans la nature fonctionnent ainsi, et tout phénomène déterministe est inévitablement accompagné d’écarts aléatoires . Néanmoins, pour certains phénomènes, on peut négliger les éléments aléatoires en remplaçant le phénomène réel par un schéma simpliﬁé : on sélectionne pour ce faire les paramè- tres les plus importants, c’est la méthode usuelle de la mécanique. L ’idée à retenir est donc que la notion de hasard, ou d’aléatoire, est liée à la méconnaissance de paramètres intervenant dans une expérience, ou à la trop grande multitude de ceux-ci. (Il est alors impossible de les faire entrer dans un traitement de physique classi- que). ■Chacun est maintenant familiarisé avec le concept de probabi- lité. La probabilité qu’il pleuve la semaine prochaine, la probabilité de gagner à la loterie ou celle de survivre à un crash aérien sont des préoccupations quotidiennes. Les assurances ﬁxent le contrat d’assurance-vie d’un individu de 22 ans, grâce à une estimation de sa probabilité de survie à 80 ans. Dans de nombreux domaines, les probabilités interviennent : les entreprises cherchent à calculer le besoin probable de leurs produits dans le futur, les médecins cherchent à connaître les probabilités de succès de différents protocoles de soin, les compagnies pharmaceu- tiques doivent estimer les probabilités d’apparitions d’effets secon- daires pour leurs médicaments. Un exemple récent spectaculaire est celui de l’utilisation des probabilités en économie et, en particu- lier, en théorie aléatoire de la ﬁnance. Ici, les taux d’intérêt et les prix d’instruments ﬁnanciers, tels que actions, obligations, taux de change, sont modélisés comme variant de manière aléatoire au cours du temps et sujets à des lois de probabilité spéciﬁques. On est alors capable de créer des produits ﬁnanciers pour les investisseurs en utilisant ces modèles. On peut citer également d’autres domai- nes d’applications aussi variés que le calcul de structures, la théorie du signal, l’optimisation et le contrôle des systèmes, l’imagerie médicale. 2. Idée majeure : le traitement statistique Bien que les comportements aléatoires sont a priori sujets à des variations imprévisibles, on est cependant capable de donner des renseignements sur ce type de phénomènes. L ’idée majeure est que ces renseignements vont être donnés par la répétition de l’expé- rience. On peut étudier la fréquence d’apparition de chaque résultat, la valeur moyenne de ces résultats et les oscillations autour de cette valeur moyenne. Tout le traitement de ces données est le traitement statistique. L ’expérience montre que, quand on observe un grand nombre de phénomènes aléatoires, on y décèle généralement des lois régissant les résultats, tout à fait déterminées, stables. Par exemple, quelle que soit la pièce non truquée avec laquelle on joue à pile ou face, quel que soit l’endroit où l’on joue, si on lance 1 000 fois la pièce, on aura environ 50 % de piles, 50 % de faces. De même, si l’on étudie la répartition des tailles d’un groupe d’individus, quel que soit l’échantillon pris dans ce groupe, on aura toujours une courbe des répartitions de même type. Cette stabilité, conﬁrmée par l’expérience, légitime l’utilisation d’une modélisation mathématique. Ainsi la théorie des probabilités va essayer de modéliser tous ces types de situations aléatoires. Cette notion de modèle abstrait commun à des expériences variées a mis beaucoup de temps à émerger (cf. encadré historique). Historique Les premières références publiées sur les chances de gagner au jeu, datent de Cardan (1501-1576) dans son livre « De Ludo Alae ». Des calculs de probabilité apparaissent aussi dans les livres de Kepler (1571-1630) et de Galilée (1564-1642). Mais les historiens semblent être d’accord sur le fait que le sujet commence réellement à être développé par Pascal (1623- 1662) et Fermat (1601-1665), vers 1650 comme un calcul combi- natoire (la première motivation était liée pour Fermat à des pro- blèmes de juriste). Huyghens, Bernoulli, De Moivre, Euler et Gauss développèrent les idées de Pascal et Fermat, mais il fal- lut, pour développer plus avant la théorie, faute d’outils mathé- matiques puissants, attendre Laplace qui donna une application magistrale du calcul différentiel et intégral à la théorie des pro- babilités, dans son très important « Traité analytique des probabilités » (en 1812). C’est vers la ﬁn du XIXe siècle que commence à se dégager la notion fondamentale de fonction aléatoire, destinée à rendre compte d’un phénomène aléatoire qui évolue au cours du temps. Einstein [2] vers 1905, s’intéresse à la notion de mouve- ment brownien (le mouvement de la particule de pollen...) observé par Brown [1], et déjà considéré par Bachelier (1900) dans sa thèse pour modéliser la dynamique d’un cours bour- sier. Finalement, la période moderne, caractérisée par l’étude sys- tématique de ces fonctions aléatoires, débute vers 1930. Dans les « Fondements de la Théorie des Probabilités », que Kolmo- gorov (1903-1987) publie en 1933 [4], apparaît une nouvelle axiomatique fondée sur la théorie de la mesure et de l’intégrale de Lebesgue et qui sera universellement adoptée ensuite. L ’expression mathématique donnée ainsi aux concepts confère à ceux-ci une clarté et une maniabilité beaucoup plus grandes, et cette axiomatique s’est révélée indispensable dans l’étude de tous les modèles dynamiques. Après le travail fondamental de Kolmogorov, Paul Lévy (1886-1971) [6] donne le ton pour les probabilités modernes par son travail sur les processus stochas- tiques, ainsi que sur les fonctions caractéris-tiques et les théorè- mes limites. L ’utilisation des notions et résultats fondamentaux de la théo- rie de la mesure et de l’intégration constitue une des difﬁcultés principales de la théorie axiomatique des probabilités. Parution : octobre 2001 - Ce document a ete delivre pour le compte de 7200038811 - universite d'orleans // 194.167.30.107 Ce document a ete delivre pour le compte de 7200038811 - universite d'orleans // 194.167.30.107 Ce document a ete delivre pour le compte de 7200038811 - universite d'orleans // 194.167.30.107 tiwekacontentpdf_af165 v1 ________________________________________________________________________________________________________________________ PROBABILITÉS Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur AF 165 − 3 3. Importance du mouvement brownien Historiquement, le mouvement brownien est associé à l’analyse de mouvements qui évoluent au cours du temps de manière si désordonnée qu’il semble difﬁcile de prévoir leur évolution, même dans un intervalle de temps très court. Il joue uploads/Litterature/ af165-pdf.pdf