Math´ ematiques BTS1 CIRA FONCTIONS 1) Limites 1-1 m´ ethodes pour lever une in

Math´ ematiques BTS1 CIRA FONCTIONS 1) Limites 1-1 m´ ethodes pour lever une ind´ etermination ⋄ au voisinage d’un infini Exemple1 f(x) = x + 1 x2 + 3x + 1 Quelle est la limite en +∞? On factorise par les monˆ omes dominants f(x) = x x2 × 1 + 1 x 1 + 3 x + 1 x2 = 1 x × 1 + 1 x 1 + 3 x + 1 x2 On a alors facilement lim x→+∞f(x) = 0 Exemple2 f(x) = ex −x + 1 Quelle est la limite en +∞? On factorise par la quantit´ e majoritaire : f(x) = ex × 1 −x ex + 1 ex
. puis on utilise les r´ esultats du terminale : lim x→+∞ex = +∞et lim x→+∞ ex x = +∞donc lim x→+∞f(x) = +∞ ⋄ au voisinage d’un point Exemple1 f(x) = x + 1 x + 2 Peut-on parler de la limite en -2 ? Il faut distinguer deux cas : en -2 par valeurs sup´ erieures not´ e lim x→−2+ et en -2 par valeurs inf´ erieures not´ e lim x→−2−. Le num´ erateur tend vers -1 dans les deux cas donc lim x→−2+ f(x) = −∞et lim x→−2−f(x) = +∞ ⋄ avec des racines carr´ ees Exemple1 f(x) = x p x2 + 1 −x  Quelle est la limite en +∞? On utilise souvent la quantit´ e conjugu´ ee pour ´ ecrire autrement une expression contenant des √ f(x) = x p x2 + 1 −x  × √ x2 + 1 + x √ x2 + 1 + x = x × 1 √ x2 + 1 + x = 1 q 1 + 1 x2 + 1 donc lim x→+∞f(x) = 1 2 1-2 Asymptotes ⋄ Horizontale Si lim x→+∞f(x) = a ∈R alors on dit que Cf admet une asymptote horizontale d’´ equation y = a au voisinage de +∞. On aura une d´ efinition analogue au voisinage de −∞. Exemple1 f(x) = x + 1 x + 2 on a : lim x→+∞f(x) = 1 donc Cf admet une asymptote horizontale d’´ equation y = 1. Il convient ensuite d’´ etudier la position de la courbe Cf par rapport ` a son asymptote en ´ etudiant le signe de la diff´ erence f(x) −1 ⋄ Verticale Si lim x→x0 f(x) = ±∞alors on dit que Cf admet une asymptote verticale d’´ equation x = x0 [St´ ephane LE METEIL 4-11-2005] Lyc´ ee Robert Schuman page 1 Math´ ematiques BTS1 CIRA Exemple1 f(x) = x + 1 x + 2 on a : lim x→−2+ f(x) = −∞et lim x→−2−f(x) = +∞donc on dit que Cf admet une asymptote verticale d’´ equation x = 2 ⋄ Oblique S’il existe des constantes r´ eelles m et p telle que si lim x→+∞[f(x) −(mx + p] = 0 alors on dit que Cf admet une asymptote oblique d’´ equation y = mx + p Exemple1 f(x) = x2 + 1 x + 2 on a : f(x) = x −2 + 5 x + 2 donc lim x→+∞[f(x) −(x −2)] = 0 donc Cf admet une asymptote oblique d’´ equation y = x −2. Il convient ensuite d’´ etudier la position de la courbe Cf par rapport ` a son asymptote en ´ etudiant le signe de la diff´ erence f(x)−(x−2) 2) Continuit´ e 2-1 D´ efinitions ⋄ En a On dit d’une fonction f qu’elle est continue en a lorsque lim x→a f(x) = f(a) ⋄ Sur I Lorsqu’une fonction est continue en tout point d’un intervalle I alors on dit qu’elle est continue sur I 2-2 Propri´ et´ es ⋄ L’image d’un intervalle par une fonction continue est encore un intervalle ⋄ Soit f une fonction continue sur un intervalle I, notons J l’intervalle image ; pour tout y ∈J, il existe au moins une solution x dans I ` a l’´ equation y = f(x) 2-3 Fonctions r´ eciproques ⋄ Si f est continue sur un intervalle I et strictement croissante sur ce mˆ eme intervalle I alors pour tout y ∈J = f(I), il existe exactement une solution x dans I ` a l’´ equation y = f(x). [St´ ephane LE METEIL 4-11-2005] Lyc´ ee Robert Schuman page 2 Math´ ematiques BTS1 CIRA Comme ` a chaque y de J, on associe l’unique solution x de l’´ equation y = f(x), on d´ efinit une fonction de J vers I. Cette fonction ainsi cr´ e´ ee se nomme fonction r´ eciproque de f. On la note f −1. Le graphe de f est l’ensemble des points M(x, y) tels que y = f(x), le graphe de f −1 est l’ensemble des N(y, x) tels que y = f(x). Pour obtenir le second ` a partir du premier, il suffit d’´ echanger les rˆ oles d’x et d’y. Les deux graphes sont donc les images l’un de l’autre par la sym´ etrie d’axe ∆d’´ equation y = x ⋄ exp/ln La fonction ℓn est d´ efinie comme unique primitive de x 7→1 x qui s’annule pour x = 1, d´ efinie sur I = R+ ∗. Elle est donc strictement croissante sur I. On a lim x→0+ ℓn x = −∞et lim x→+∞ℓn x = +∞donc J = f(I) = R. La fonction r´ eciproque est donc d´ efinie sur R, elle se nomme exp. Si y = ℓn(x) alors x = exp(y), on note x = ey. ⋄ arcsin, arccos, arctan La fonction sin est continue et strictement croissante sur I = −π 2 ; +π 2  . Lorsque x d´ ecrit I, sin(x) d´ ecrit tout l’intervalle J = [−1; 1]. Elle admet donc sur J une fonction r´ eciproque, appel´ ee arcsin. La fonction cos est continue et strictement d´ ecroissante sur I = [0; π]. Lorsque x d´ ecrit I, cos(x) d´ ecrit tout l’intervalle J = [−1; 1]. Elle admet donc sur J une fonction r´ eciproque, appel´ ee arccos. La fonction tan est continue et strictement croissante sur I = −π 2 ; +π 2  . Lorsque x d´ ecrit I, tan(x) d´ ecrit tout l’intervalle J = R. Elle admet donc sur J une fonction r´ eciproque, appel´ ee arctan. [St´ ephane LE METEIL 4-11-2005] Lyc´ ee Robert Schuman page 3 Math´ ematiques BTS1 CIRA 3) D´ erivabilit´ e 3-1 D´ efinitions ⋄ Nombre d´ eriv´ e Soit f une fonction d´ efinie sur un intervalle contenant a, on dit que f est d´ erivable en a lorsque lim x→a f(x) −f(a) x −a est un nombre r´ eel. Lorsqu’il existe, on le nomme nombre d´ eriv´ ee de f en a et on le note f ′(a). Exemple1 : on consid` ere la fonction f d´ efinie sur R+ par f(x) = √x. soit a ∈R+ ∗, on a pour tout x ∈R+ : f(x) −f(a) x −a = √x −√a x −a = √x −√a x −a × √x + √a √x + √a = 1 √x −√a donc lim x→a f(x) −f(a) x −a = 1 2√a. Le nombre d´ eriv´ e de la fonction f : x 7→√x en a est 1 2√a, on ´ ecrit f ′(a) = 1 2√a ⋄ Fonction d´ eriv´ ee Lorsque f est d´ erivable en tout point d’un intervalle I, on dit que f est d´ erivable sur I. La fonction qui a tout nombre a ∈I fait correspondre le nombre f ′(a) se somme fonction d´ eriv´ ee de f et est not´ ee f ′. 3-2 Interpr´ etations ⋄ graphique La quantit´ e f(x) −f(a) x −a repr´ esente la pente de la corde entre les points A(a, f(a)) et M(x, f(x)). Lorsque x tend vers a, le point M se rapproche du point A, ` a la limite la corde devient la tangente en A ` a la courbe repr´ esentant f. Lorsque lim x→a f(x) −f(a) x −a est un r´ eel, c’est la pente de la tangente en A(a, f(a)) ` a Cf. ⋄ cin´ ematique Si f(t) d´ ecrit le d´ eplace d’un mobile le long d’un axe au cours du temps t alors f ′(a) correspond ` a la vitesse instantan´ ee de ce mobile ` a l’instant t = a. En effet : f(x) −f(a) x −a correspond ` a une diff´ erence de position/une diff´ erence de temps, c’est la vitesse moyenne entre les instants a et x. Lorsque x tend vers a, la vitesse moyenne devient la vitesse instantan´ ee en a. [St´ ephane LE METEIL 4-11-2005] Lyc´ ee Robert Schuman page 4 Math´ ematiques BTS1 CIRA 3-3 Formulaires Fonction D´ eriv´ ee ax + b a xα αxα−1 ℓn x 1 x ex ex cos(ωx) −ω sin(ωx) sin(ωx) +ω cos(ωx) tan(ωx) ω(1 + tan2(ωx)) arcsin x 1 √ 1 −x2 arccos x −1 √ 1 −x2 arctan x 1 1 + x2 Fonction D´ eriv´ ee u + v u′ + v′ k.u k.u′ u × uploads/Litterature/ fon-ctions-g.pdf

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• Publié le Aoû 31, 2022
• Catégorie Literature / Litté...
• Langue French
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