Par George L. EKOL African Virtual university Université Virtuelle Africaine Un

Par George L. EKOL African Virtual university Université Virtuelle Africaine Universidade Virtual Africana Équation différentielle Mathématiques Université Virtuelle Africaine 1 NOTE Ce document est publié sous une licence Creative Commons. http://en.wikipedia.org/wiki/Creative_Commons Attribution http://creativecommons.org/licenses/by/2.5/ License (abréviation « cc-by »), Version 2.5. Université Virtuelle Africaine 2 I. Équation différentielle _______________________________________3 II. Cours ou connaissances préalables nécessaires ___________________3 III. Temps ___________________________________________________3 IV. Matériel didactique _________________________________________3 V. Justification_______________________________________________4 VI. Contenu__________________________________________________4 6.1 Vue d’ensemble _________________________________________4 6.2 Plan __________________________________________________5 6.3 Représentation graphique _________________________________6 VII. Objectifs généraux du module _________________________________7 VIII. Objectifs spécifiques des activités d’apprentissage _________________7 IX. Activités d’enseignement et d’apprentissage ______________________8 X. Activités d’apprentissage ___________________________________12 XI. Glossaire des mot-clés _____________________________________68 XII. Liste des lectures obligatoires ________________________________70 XIII. Liste des ressources multimédia (optionnelle) ___________________70 XIV. Liste de liens pratiques _____________________________________71 XV. Synthese du module _______________________________________72 XVI. Évaluation sommative ______________________________________73 XII. Références ______________________________________________83 XVIII. Fichiers de l’étudiant ______________________________________84 XIX. Auteur principal du module __________________________________84 ;()3,+,:4(;0Ï9,: Université Virtuelle Africaine 3 0iX\H[PVUKPMMtYLU[PLSSL Par George L. Ekol, BSc,MSc. 00*V\YZV\JVUUHPZZHUJLZWYtHSHISLZ UtJLZZHPYLZ Calcul unité 3 000;LTWZ Le nombre total d’heures pour ce module est de 120 heures de cours réparties comme suit : Activité d’apprentissage Sujet Unité Temps #1 Introduction aux équations diférentielles du premier et du second ordre une 30 heures #2 Techniques et outils pour équa- tions diférentielles linéaires une 30 heures #3 Séries de solutions du second ordre linéaire de l’équation deux 30 heures #4 Équations aux dérivées partielles; transformations de Laplace, Séries de Fourier, et leurs applications deux 30 heures 0=4H[tYPLSKPKHJ[PX\L /HVpWXGLDQWVGRLYHQWDYRLUDFFqVDX[OHFWXUHVQpFHVVDLUHVVSpFL¿pVSOXVORLQ Ils auront aussi besoin d’un ordinateur pour pouvoir consulter entièrement les lectures nécessaires. De plus, les étudiants devraient être en mesure d’installer OHORJLFLHODSSURSULpZ[0D[LPDD¿QGHO¶XWLOLVHUSRXUSUDWLTXHUOHVQRWLRQV DOJpEULTXHV Université Virtuelle Africaine 4 =1\Z[PÄJH[PVUK\TVK\SL 2QUHWURXYHOHVpTXDWLRQVGLIIpUHQWLHOOHVGDQVOHVGLIIpUHQWVGRPDLQHVGHODVFLHQFHHW GHODWHFKQRORJLHjFKDTXHIRLVTX¶XQHUHODWLRQLPSOLTXDQWXQFKDQJHPHQWFRQWLQXHO GHTXDQWLWpHWVHVGpULYpHVHVWFRQQXHRXIRUPpH(QPpFDQLTXHFODVVLTXe par exem- SOHOHPRXYHPHQWGHODFDUURVVHULHHVWGp¿QLSDUVDSRVLWLRQHWVDYLWHVVHDXIXUHWj PHVXUHTXHOHWHPSVYDULHLes Loi de mouvement de Newton permettent à un corps GHUHOLHUODSRVLWLRQODYLWHVVHO¶DFFpOpUDWLRQHWOHVGLIIpUHQWHVIRUFHVDJLVVDQWGDQV OHFRUSV FHWWHUHODWLRQSHXWrWUHYXHFRPPHXQHpTXDWLRQGLIIpUHQWLHOOHjFDXVHGH ODSRVLWLRQLQFRQQXHGXFRUSVHQWDQWTXHIRQFWLRQGXWHPSV(QJpQpUDOO¶pTXDWLRQ GLIIpUHQWLHOOHSHXWrWUHUpVROXHSRXUSURGXLUHODORLGXPRXYHPHQW /HVpTXDWLRQVGLIIpUHQWLHOOHVVRQWpWXGLpHVVRXVGHVDQJOHVGLIIpUHQWV'DQVOHVFDV ROHVpTXDWLRQVGLIIpUHQWLHOOHVRQWpWpXWLOLVpHVSRXUUpVRXGUHGHVSUREOqPHVGHOD vie, on a le diagnostic des maladies et la croissance de plusieurs populations (M. %UDXQ  /HVpTXDWLRQVGLIIpUHQWLHOOHVGHSUHPLHURUGUHHWG¶RUGUHSOXVpOHYpRQW DXVVLSHUPLVGHWURXYHUGHQRPEUHXVHVGHPDQGHVHQPpFDQLTXHFLUFXLWpOHFWULTXH géométrie, biologie, chimie, économie, ingénierie, et en génie aérospatiale. (M. R. 6SLHJHO S /¶pWXGHGHVpTXDWLRQVGLIIpUHQWLHOOHVGHYUDLWDORUVSHUPHWWUH DX[HQVHLJQDQWVGHPDWKpPDWLTXHVHWGHVFLHQFHGHVHGRWHUGHVFRQQDLVVDQFHVHW GHVFRPSpWHQFHVQpFHVVDLUHVSRXUELHQHQVHLJQHUOHXUVPDWLqUHVHQLPSOLTXDQWGHV applications pertinentes dans leurs domaines. =0*VU[LU\ 6.1 Vue d’ensemble &HPRGXOHFRPSUHQGGHX[XQLWpVjVDYRLUO¶,QWURGXFWLRQDX[pTXDWLRQVGLIIp- UHQWLHOOHVRUGLQDLUHVHWpTXDWLRQVGLIIpUHQWLHOOHVG¶RUGUHSOXVpOHYp'DQVO¶XQLWp RQWUDLWHOHVpTXDWLRQVGLIIpUHQWLHOOHVRUGLQDLUHVKRPRJqQHVHWOHVpTXDWLRQV GLIIpUHQWLHOOHVRUGLQDLUHVQRQKRPRJqQHVDLQVLTXHOHXUVVROXWLRQVREWHQXHV DYHFGHVWHFKQLTXHVYDULpHV4XHOTXHVXQHVGHFHVWHFKQLTXHVLQFOXHQWODYD- ULDWLRQGHVSDUDPqWUHVODPpWKRGHGHVFRHI¿FLHQWVLQGpWHUPLQpVHWO¶RSpUDWHXU LQYHUVH'DQVO¶XQLWpGHVVpULHVGHVROXWLRQVSRXUOHVpTXDWLRQVGLIIpUHQWLHOOHV VRQWSUpVHQWpHV2QWUDLWHDXVVLOHVpTXDWLRQVDX[GpULYpHVSDUWLHOOHVHWOHXUV solutions obtenues par la méthode de séparation des variables. On s’intéresse DXVVLDX[WUDQVIRUPpHV/DSODFHGHVVpULHV)RXULHUDX[WUDQVIRUPpHV)RXULHU DLQVLTXHOHXUVDSSOLFDWLRQV. Université Virtuelle Africaine 5 6.2 Plan de cours Unité 1: Introduction aux équations différentielles ordinaires Niveau 2. Priorité A. Calcul 3 est pré requis eTXDWLRQVGLIIpUHQWLHOOHVGXSUHPLHURUGUHHWOHVDSSOLFDWLRQVeTXDWLRQVGLI- IpUHQWLHOOHVGXVHFRQGRUGUHeTXDWLRQVKRPRJqQHVjFRHI¿FLHQWVFRQVWDQWV eTXDWLRQVjFRHI¿FLHQWVYDULDEOHVeTXDWLRQVQRQKRPRJqQHV&RHI¿FLHQWV LQGpWHUPLQpV9DULDWLRQGHVSDUDPqWUHV2SpUDWHXUGLIIpUHQWLHOLQYHUVH Unité 2: Équation différentielle d’ordre plus élevé et applications Niveau 2. Priorité B. Équation différentielle 1 est pré requis. 6pULHVGHVROXWLRQVDX[pTXDWLRQVGLIIpUHQWLHOOHVOLQpDLUHVRUGLQDLUHVGHVHFRQG RUGUH)RQFWLRQVVSpFLDOHV0pWKRGHVGHVpSDUDWLRQGHVYDULDEOHVDSSOLTXpHDX[ pTXDWLRQVDX[GpULYpHVSDUWLHOOHVGHVHFRQGRUGUH+DUPRQLTXHVVSKpULTXHV 7UDQVIRUPpHVGH/DSODFHHWDSSOLFDWLRQV6pULHV)RXUULHU7UDQVIRUPpHVGH )RXUULHUHWDSSOLFDWLRQV Université Virtuelle Africaine 6 6.2 Représentation graphique eTXDtions dLIIérentielles du premier ordre et applications eTXDtions dLIIérentielles du second eTXDtions homogènes à coeIILcients constants eTXDtions à coeIILcients variables eTXDtions non homogènes CoeIILcients indéterminés Variation des paramètres Opérateurs dLIIérentielles inverses Séries de solution de l’pTXDtion dLIIérentielle linéaire ordinaire de deuxième ordre )onctions spéciales Méthode de séparation des variables +DUmoniTX e sphériTXH TransIormée s de Laplace et applications Séries )ourrier, transIormées de )ourrier et applications Université Virtuelle Africaine 7 =00 6IQLJ[PMZNtUtYH\_K\TVK\SL ¬OD¿QGHFHPRGXOHO¶pWXGLDQWGHYUDLWrWUHHQPHVXUHGH   GpPRQWUHUHWFRPSUHQGUHOHVpTXDWLRQVGLIIpUHQWLHOOHVHWPDvWULVHUOHVGLIIp- UHQWHVWHFKQLTXHVD¿QGHOHVDSSOLTXHUGDQVODYLHFRXUDQWH  GpPRQWUHUHWFRPSUHQGUHOHVFRQFHSWVHWOHVSURSULpWpVGHVIRQFWLRQVVSpFLDOHV GHVWUDQVIRUPpHV/DSODFHGHV6pULHV)RXUULHUGHVWUDQVIRUPpHVGH)RXUULHU et maitriser leurs applications.  G¶H[SORLWHUO¶XWLOLWpGHV7,& WHFKQRORJLHVGHO¶LQIRUPDWLRQHWGHVFRPPX- QLFDWLRQV HQJpQpUDOHWOHVV\VWqPHVGHFDOFXOIRUPHOVHQSDUWLFXOLHUSRXU DQDO\VHUO¶DOJqEUHHWUpVRXGUHOHVpTXDWLRQVGLIIpUHQWLHOOHV =000 6IQLJ[PMZZWtJPÄX\LZKLZHJ[P]P[tZ    K»HWWYLU[PZZHNL (Objectifs pédagogiques): différents objectifs pour chaque unité Vous devriez être capable de :  0DvWULVHUOHVGLIIpUHQWHVWHFKQLTXHVGHUpVROXWLRQGHVpTXDWLRQVGLIIpUHQWLHOOHV D¿QGHOHVDSSOLTXHUSRXUUpVRXGUHOHVSUREOqPHV  &RPSUHQGUHOHVFRQFHSWVHWGpPRQWUHUOHVSURSULpWpVGHVIRQFWLRQVVSpFLDOHV WUDQVIRUPpHV/DSODFH6pULHV)RXUULHUWUDQVIRUPpHV)RXUULHUHWPDvWULVHUOHXUV applications. 9RXVGHYULH]PHWWUHHQDSSOLFDWLRQOHVFRQQDLVVDQFHVDFTXLVHVHQPDWKpPDWLTXHVGH base: 1. calcul de base : dérivation et intégration Vous devriez exploiter l’utilité des TIC en :  XWLOLVDQWOHVV\VWqPHVGHFDOFXOIRUPHOVSRXUDQDO\VHUO¶DOJqEUHGHVpTXDWLRQV GLIIpUHQWLHOOHV Université Virtuelle Africaine 8 0?(J[P]P[tZK»LUZLPNULTLU[L[K»HWWYLU[PZZHNL 9.1 Pré-évaluation QUESTIONS  /DTXHOOHGHVSURSRVLWLRQVWULJRQRPpWULTXHVVXLYDQWHVQ¶HVWpas exactement vraie ? A. 1 cos sin 2 2  x x B. 1 tan sec 2 2  < x x C. x x tan ) tan(  < D. x x cos ) cos(  < 2. 4XHOOHHVWO¶pTXDWLRQGHODGURLWHWDQJHQWHjODFRXUEHG¶pTXDWLRQ 3 2  x y au point de coordonnées ) 1 , 2 ( ? A. 3 2 <  x y B. 7 4 <  x y C. 9 4 <  x y D. 5 4 <  x y 3. Si x y tan  , alors dx dy est égal à ? A. x 2 cot B. x 2 sec C. x x tan sec D. ecx cos 'LIIpUHQWLHU x e x f 2 2 1 ) (  TXDQGj x . A. x e2 4 1 B. x e C. x e 4 1 D. x e2 Université Virtuelle Africaine 9  /DIRQFWLRQ ... ! 7 ! 5 ! 3 ) ( 7 5 3 < <  x x x x x f est la série Taylor standard de : A. x sin B. x cos C. ) sin( x < D. ) cos( x <  3RXUWURXYHUODGpULYpHGHODIRQFWLRQ x x y sin  OHSULQFLSHGHEDVHDSSOLTXp est : A. la trigonométrie %OHSULQFLSHGXTXRWLHQW &OHSULQFLSHSDUDPpWULTXH D. le principe du produit  /¶LQWpJUDWLRQHVWSDUIRLVGpFULWHFRPPHOHBBBBBBBBBBBBBBBGHODGpULYDWLRQ  &RPSOpWHUODSKUDVHDYHFOHPRWTXLFRQYLHQW A. procédé B. inverse C. extrême D. résultat 8. Pour trouver la solution de e 2 x 0 sin xdx , l’approche la plus courante est : A. l’intégration directe B. la méthode de substitution &ODIUDFWLRQSDUWLHOOH D. l’intégration par parties Université Virtuelle Africaine 10 9. Exprimer x 3 <1 x 2 <1 HQIUDFWLRQVSDUWLHOOHV A. x 1 x <1 B. x < 1 x <1 C. x 1 x 1 D. x < 1 x 1 10. Trouver l’intégrale de x 3 <1 x 2 <1 A. x 2 2 ln(x <1) c B. x 2 2 < ln(x <1) c C. x 2 2 < ln(x 1) c D. x 2 2 ln(x 1) c Solutions 1. C 2. B 3. B 4. D. 5. A 6. D 7. B 8. D 9. C 10. D Université Virtuelle Africaine 11 Remarques pédagogiques pour les étudiants  /HVLGHQWLWpVWULJRQRPpWULTXHVVRQWGLVSRQLEOHVGDQVODSOXSDUWGHVGRFXPHQWV PDWKpPDWLTXHVGHEDVH,OIDXGUDYpUL¿HUFHVLGHQWLWpVHWSHQGUHGHVQRWHV  /HSUREOqPHTXLVHSRVHHVVHQWLHOOHPHQWSRXUWURXYHUXQHOLJQHWDQJHQWH au point P et le même pour retrouver l’inclinaison de la tangente au point P. UpIpUH]YRXVjO¶XQLWpGXPRGXOH  /HVGpULYpHVWULJRQRPpWULTXHVVRQWGHVH[SUHVVLRQVVWDQGDUGGLVSRQLEOHV GDQVODSOXSDUWGHVGRFXPHQWVPDWKpPDWLTXHVGHEDVH'DQVFHUWDLQVFDVFHV GpULYpHVGpFRXOHQWGHVSUHPLHUVSULQFLSHV9HXLOOH]YRXVUpIpUHUjO¶XQLWp du module 3.  6HUpIpUHUjO¶XQLWpGXPRGXOH  6HUpIpUHUjO¶XQLWpGXPRGXOH  6HUpIpUHUjO¶XQLWpGXPRGXOH  6HUpIpUHUjO¶XQLWpGXPRGXOH  6HUpIpUHUjO¶XQLWpGXPRGXOH  6HUpIpUHUjO¶XQLWpGXPRGXOH 6HUpIpUHUjO¶XQLWpGXPRGXOH Université Virtuelle Africaine 12 ?(J[P]P[tZK»HWWYLU[PZZHNL Activité d’apprentissage 1 Introduction àux équations différentielles de premier et de second ordre 2EMHFWLIVSpFL¿TXHVG¶DSSUHQWLVVDJH ¬OD¿QGHFHWWHXQLWpO¶pWXGLDQWGHYUDLWrWUHHQPHVXUHGH % ,GHQWL¿HUFRUUHFWHPHQWOHVpTXDWLRQVGLIIpUHQWLHOOHVGHGLIIpUHQWVRUGUHVHW degrés; % )RUPHUXQHpTXDWLRQGLIIpUHQWLHOOHHQpOLPLQDQWOHVFRQVWDQWHVDUELWUDLUHV % 5pVRXGUHGHVpTXDWLRQVGLIIpUHQWLHOOHVGHSUHPLHURUGUHHQXWLOLVDQWODPpWKRGH de séparation des variables; % 5pVRXGUHGHVpTXDWLRQVGLIIpUHQWLHOOHVKRPRJqQHVSDUODUpGXFWLRQjODVpSD- ration des variables. Résumé &HWWHXQLWpSUpVHQWHOHPRGXOHVXUOHVpTXDWLRQVGLIIpUHQWLHOOHV/HVFRQQDLV- VDQFHVHWFRPSpWHQFHVSUpDODEOHVDXFDOFXOLQWpJUDOHWGLIIpUHQWLHOWUDLWpHVGDQV ce module sont pris en compte. 'DQVFHWWHXQLWpYRXVDSSUHQGUH]FRPPHQWLGHQWL¿HUFRUUHFWHPHQWOHVpTXD- WLRQVGLIIpUHQWLHOOHVHQGpWHUPLQDQWOHXUVRUGUHVHWGHJUpV9RXVDSSUHQGUH] DXVVLFRPPHQWIRUPHUGHVpTXDWLRQVGLIIpUHQWLHOOHVG¶XQHIRQFWLRQGRQQpH 9RXVUpVRXGUH]DXVVLGHVpTXDWLRQVGLIIpUHQWLHOOHVSDUODPpWKRGHGHVpSDUD- WLRQGHVYDULDEOHV(Q¿QYRXVDSSUHQGUH]FRPPHQWUpVRXGUHOHVpTXDWLRQV GLIIpUHQWLHOOHVKRPRJqQHVSDUODUpGXFWLRQjVpSDUDWLRQGHVYDULDEOHV Liste des lectures obligatoires : 0$8&+6  Introduction to Methods of Applied Differential Equations or Advanced Mathematics Methods for Scientists and Engineers: Mauch Pu- blishing Company. http://www.its.caltech.edu/~sean Université Virtuelle Africaine 13 Lectures supplémentaires 6WHSKHQVRQ*   0DWKHPDWLFDO0HWKRGVIRU6FLHQFH6WXGHQWV6LQJD- pore: Longman. P.380-386. Wikibooks, Équations différentielles Concepts clés Équation différentielle :XQHpTXDWLRQGLIIpUHQWLHOOHHVWXQHUHODWLRQHQWUHXQHIRQF- tion et ses dérivées. Ordre O¶RUGUHG¶XQHpTXDWLRQGLIIpUHQWLHOOHHVWO¶RUGUHPD[LPDOGHGpULYDWLRQTXL LQHUYLHQWGDQVO¶pTXDWLRQ Degré OHGHJUpG¶XQHpTXDWLRQGLIIpUHQWLHOOHRUGLQDLUHHVWODSXLVVDQFHGRQWODGpULYpH la plus élevée est soulevé. Université Virtuelle Africaine 14 Activité d’apprentissage Introduction aux équations différentielles du premier et du second ordre. 1.1 Équation différentielle 8QHpTXDWLRQGLIIpUHQWLHOOHHVWXQHUHODWLRQHQWUHXQHIRQFWLRQHWVHVGpULYpHV /¶pTXDWLRQGLIIpUHQWLHOOHIRUPHOHODQJDJHGDQVOHTXHOOHVORLVIRQGDPHQWDOHV GHVVFLHQFHVSK\VLTXHVVRQWIRUPXOpHV /DVFLHQFHQRXVGpFULWFRPPHQWXQV\VWqPHSK\VLTXHFKDQJHG¶XQLQVWDQWj O¶DXWUH/DWKpRULHGHVpTXDWLRQVGLIIpUHQWLHOOHVQRXVIRXUQLWOHVRXWLOVHWOHV WHFKQLTXHVSRXUSUHQGUHFHWWHLQIRUPDWLRQjFRXUWWHUPHHWREWHQLUOHIRQF- WLRQQHPHQWjORQJWHUPHGHWRXWO¶RUJDQLVPH/¶DSWLWXGHHWODSUDWLTXHGHV pTXDWLRQVGLIIpUHQWLHOOHVLPSOLTXHQWO¶RUGUHGHVpWDSHVVXLYDQWHV Équation diférentielle Solution fonctionnement avec le temps (Étape 2) Modèle (Étape 1) (Étape 3) interprétation (Étape 4) Validation ……………… . .……………… Monde physique Un système physique dynamique. 1.1.1 Equations différentielles ordinaires et équations aux dérivées partielles 'p¿QLWLRQV 8QHpTXDWLRQGLIIpUHQWLHOOH (' HVWXQHpTXDWLRQTXLFRPSUHQGGHVGpULYpHV GHODIRQFWLRQLQFRQQXHGHXQRXSOXVLHXUVYDULDEOHV6LODIRQFWLRQLQFRQQXH dépend de seulement uneYDULDEOHO¶pTXDWLRQHVWGLWHpTXDWLRQGLIIpUHQWLHOOH RUGLQDLUH ('2 6LODIRQFWLRQLQFRQQXHGpSHQGGHSOXVG¶XQHYDULDEOH O¶pTXDWLRQHVWGLWHpTXDWLRQDX[GpULYpHVSDUWLHOOHV ('3  Université Virtuelle Africaine 15 Exemples Exemple 1: dy dx  2x y ou y x y  2 / HVWXQHpTXDWLRQGLIIpUHQWLHOOHRUGLQDLUH SXLVTXHVDIRQFWLRQ ) (x f y  dépend d’une seule variable x . 'DQVODIRQFWLRQ ) (x f y  , x est la variable indépendante, et y est la variable dé- pendante. Exemple 2 : ,y ,x  2x z HVWXQHpTXDWLRQGLIIpUHQWLHOOHSDUWLHOOHSXLVTXHODIRQFWLRQ ) , ( z x f y  dépend de deux variables x et z . 1.1.2 Définition : ordre et degré d’une équation différentielle L’ordre d’une ED est l’ordre de dérivation le plus élevé dans une expression. Le GHJUpG¶XQHpTXDWLRQGLIIpUHQWLHOOHRUGLQDLUHHVWOHGHJUpDOJpEULTXHOHSOXVpOHYpOD IRQFWLRQHWVHVGpULYpHVTXLDSSDULVVHQWGDQVO¶pTXDWLRQ Exemple 3 : dy dx  2x y XQHpTXDWLRQGLIIpUHQWLHOOHRUGLQDLUHGHSUHPLHURUGUH premier degré Exemple 4: ,y ,x  2x z HVWXQHpTXDWLRQGLIIpUHQWLHOOHSDUWLHOOHGHSUHPLHURUGUH premier degré. Exemple 5: d 2x dt 2 < 2 dx ,t <15x  0 HVWXQHpTXDWLRQGLIIpUHQWLHOOHGHVHFRQGGHJUp premier ordre. Université Virtuelle Africaine 16 Activités 1.1.1 Activité dans le logiciel :FKHUFKHUXQHpTXDWLRQGLIIpUHQWLHOOHVLPSOHHQXWLOLVDQW wxMaxima. Z[0D[LPDSHXWDXVVLUpVRXGUHXQHpTXDWLRQGLIIpUHQWLHOOHSRXUYRXV&HSHQGDQWFH n’est pas une raison pour éviter de résoudre les problèmes de l’exercice par vous- PrPH3DUFRQWUHYRXVSRXYH]O¶XWLOLVHUSRXUFKHUFKHUGLIIpUHQWVpTXDWLRQVHWUpÀpFKLU VXUODIDoRQGRQWHOOHVIRQFWLRQQHQW % Tout d’abord, télécharger wxMaxima. % &OLTXHUVXUOHERXWRQGHFRPPDQGHDXEDVGHO¶pFUDQ % 7DSHUµGLII \[ HWDSSX\HUVXU(175(55HPDUTXHUO¶DSRVWURSKHµDXGp- but. % Celà vous permet d’entrer d dx y par exemple dy dx . % (QWUHUPDLQWHQDQWO¶pTXDWLRQGLIIpUHQWLHOOHHQFRPPHQoDQWSDUXQHpTXDWLRQ plus simple: dy dx  1 4XHOOHHVWODVROXWLRQ" % 6LODGLIIpUHQWLHOOHHVWDORUVODIRQFWLRQGRLWrWUHx, avec une constante arbi- traire ajoutée, par exemple x + C % 'DQVZ[0D[LPDWDSHU µGLII \[ HWDSSX\HUVXU(175(5 % &HWWHpTXDWLRQGLIIpUHQWLHOOHGHYUDLWDSSDUDLWUH dy dx  1. % 'HPDQGHUPDLQWHQDQWjZ[0D[LPDGHUpVRXGUHO¶pTXDWLRQSRXUYRXV % 3RXUFHODXWLOLVHUODIRQFWLRQode2&HODHVWYDODEOHSRXUO¶pTXDWLRQGLIIpUHQ- tielle ordinaire (et de second degré). % ,OIDXWVSpFL¿HUjZ[0D[LPDWURLVFKRVHV ODIRQFWLRQTXHYRXVXWLOLVH]VD variable dépendante, et sa variable indépendante. % /DIRQFWLRQHVWFHOOHYRXVTXHYRXVYHQH]G¶HQWUHUOHFDUDFWqUHHVWXWLOLVp SRXUVLJQDOHUjZ[0D[LPDGHOHIDLUH/DYDULDEOHLQGpSHQGDQWHHVWy, et la dépendante, x. % 7DSHUDORUV RGH \[ HWDSSX\HUVXU(175(5 % La solution est C x y   % 5HPDUTXHUTXHZ[0D[LPDPRQWUHXQHFRQVWDQWHDUELWUDLUHGHOLQWpJUDWLRQ FRPPH&  >YRXVSRXYH]IDLUHWRXWFHODHQPrPHWHPSVHQWDSDQW RGH µGLII \[ \[ @ Université Virtuelle Africaine 17 0DLQWHQDQWYRXVGHYULH]H[SpULPHQWHUO¶pTXDWLRQGLIIpUHQWLHOOH7RXMRXUV trouver par vous même la réponse avant d’appuyer sur ENTRER dans wx- Maxima! 3RXUFRPPHQFHUHVVD\H]FHVpTXDWLRQV dy dx  5, dy dx  x, dy dx  sin x, dy dx  x 2 5x >5DSSHOH]YRXVTXH 2 x HVWHQWUpHQWDQWTXH[AHWVLQx doit être entré comme VLQ [ @ Lectures obligatoires 0$8&+6  SSGLVSRQLEOHVXUOHCD du cours En vous basant sur les lectures obligatoires et les notes uploads/Litterature/ equation-differentielle.pdf

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• Publié le Aoû 12, 2021
• Catégorie Literature / Litté...
• Langue French
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