Formulaire de Probabilit´ es et Statistiques AD+JS 1 Rappels de combinatoire Ar

Formulaire de Probabilit´ es et Statistiques AD+JS 1 Rappels de combinatoire Arrangements avec r´ ep´ etitions Nombre d’applications d’un ensemble ` a k ´ el´ ements dans un ensemble ` a n ´ el´ ements : nk Arrangements (sans r´ ep´ etitions) Nombre d’arrangements de k objets choisis parmi n: Ak n = n! (n −k)! = n(n −1) · · · (n −k + 1) Permutations Nombre de permutations de n objets : An n = n! Combinaisons (sans r´ ep´ etitions) Nombre de combinaisons de k objets choisis parmi n (ou nombre de sous-ensembles ` a k ´ el´ ements dans un ensemble ` a n ´ el´ ements): Ck n = n k  = n! (n −k)!k! = n(n −1) · · · (n −k + 1) k(k −1) · · · 1 (coefficient binomial) Combinaisons avec r´ ep´ etitions Nombre de r´ epartitions de n boules indiscernables dans k urnes discernables: Cn n+k−1 = Ck−1 n+k−1 = (n + k −1)! n!(k −1)! Coefficients multinomiaux Nombre de r´ epartitions de n boules discernables dans k urnes discernables avec n1 boules dans la 1` ere urne, n2 boules dans la 2` eme urne, . . ., nk boules dans la k` eme urne: Cn1 n Cn2 n−n1 · · · Cnk n−n1−···−nk−1 =  n n1, . . . , nk  = n! n1!n2! · · · nk! (coefficient multinomial) Propri´ et´ es ´ el´ ementaires des coefficients binomiaux Ck−1 n + Ck n = Ck n+1 (triangle de Pascal) Ck n+m = k X j=0 Cj mCk−j n (formule de Vandermonde ) (x + y)n = n X k=0 Ck nxkyn−k (formule du binˆ ome) (1 −x)−n = ∞ X k=0 Ck n+k−1xk (s´ erie g´ eom´ etrique g´ en´ eralis´ ee ) 1 2 Probabilit´ es ´ el´ ementaires Model` e probabiliste L’ensemble fondamental Ωest l’ensemble des r´ esultats possibles d’une exp´ erience. Un ´ ev´ enement A est un sous-ensemble de Ω. Une distribution de probabilit´ es P sur Ωassocie ` a tout ´ ev´ enement A un nombre P(A), tel que 0 ≤P(A) ≤1, appel´ e probabilit´ e de A. Ci-dessous, soient A, B, A1, A2, . . ., An des ´ ev´ enements. On note Ac le compl´ ementaire de A dans Ω. Une partition de Ω(un syst` eme complet d’´ ev´ enements) {Bi}n i=1 a les propri´ et´ es que l’union des ´ ev´ enements est Ωet qu’ils sont disjoints deux ´ a deux: n [ i=1 Bi = Ω, Bj ∩Bj = ∅, i ̸= j. Propri´ et´ es ´ el´ ementaires de P P(Ω) = 1 P(Ac) = 1 −P(A) P(A ∪B) = P(A) + P(B) −P(A ∩B) Formule d’inclusion-exclusion ` a n termes P n [ i=1 Ai ! = n X k=1 (−1)k+1 X 1≤i1<···<ik≤n P(Ai1 ∩· · · ∩Aik) ´ Ev´ enements ind´ ependants A et B sont ind´ ependants ssi P(A ∩B) = P(A)P(B) ´ Ev´ enements ind´ ependants deux ` a deux P(Ai ∩Aj) = P(Ai)P(Aj) i ̸= j ´ Ev´ enements totalement ind´ ependants P(Ai1 ∩· · · ∩Aik) = P(Ai1) · · · P(Aik) 1 ≤i1 < · · · < ik ≤n, k = 1, . . . , n Probabilit´ es conditionnelles Si A est un ´ ev´ enement quelconque et si l’´ ev´ enement B v´ erifie P(B) > 0 alors la probabilit´ e conditionnelle de A sachant B est P(A | B) = P(A ∩B) P(B) . Conditionnement multiple P(A1 ∩A2 ∩· · · ∩An) = P(A1)P(A2 | A1) · · · P(An | A1 ∩A2 ∩· · · ∩An−1) Formule des probabilit´ es totales Soit (Bi)1≤i≤n une partition de Ω, avec P(Bi) > 0, ∀i. Alors pour tout ´ ev´ enement A, P(A) = P(A | B1)P(B1) + P(A | B2)P(B2) + · · · + P(A | Bn)P(Bn). 2 Formule de Bayes Soit {Bi}n i=1 une partition de Ω, avec P(Bi) > 0, ∀i. Alors pour tout ´ ev´ enement A de probabilit´ e non nulle P(Bi | A) = P(A | Bi)P(Bi) P(A | B1)P(B1) + P(A | B2)P(B2) + · · · + P(A | Bn)P(Bn). 3 Variables al´ eatoires r´ eelles Variables discr` etes Une variable al´ eatoire r´ eelle X est une fonction X : Ω→E ou E est un sous-ensemble de nombres r´ eels. Si E est discr` et, alors X est appel´ e variable al´ eatoire discr` ete. Dans ce cas la distribution de probabilit´ es de X est la donn´ ee des nombres : P(X = xk). La fonction fX(x) = P(X = x) est appel´ ee fonction de masse. Fonction de r´ epartition FX(t) = P(X ≤t) Quantile Pour une probabilit´ e 0 < p < 1, la p quantile de FX est xp = inf{x : FX(x) ≥p}. Tr` es souvent on a FX(xp) = p. Variables continues X est une variable al´ eatoire continue si sa fonction de r´ epartition s’´ ecrit sous la forme FX(x) = x Z −∞ fX(t)dt, donc fX(x) = dFX(x) dx , o` u fX(x) est une fonction non n´ egative, appel´ ee densit´ e de X. Couples de variables al´ eatoires On consid` ere des ´ ev´ enements relatifs ` a deux variables al´ eatoires X et Y . Fonction de r´ epartition conjointe FX,Y (x, y) = P(X ≤x, Y ≤y). Pour un couple (X, Y ) conjointement continu FX,Y (x, y) = x Z −∞ ds y Z −∞ dy fX,Y (s, t) = y Z −∞ x Z −∞ fX,Y (s, t) dsdt et fX,Y (x, y) = ∂2 ∂x∂yFX,Y (x, y). Fonction de r´ epartition marginale FX(x) = P(X ≤x) = limy→∞FX,Y (x, y). Pour un couple (X, Y ) conjointement continu FX(x) = x Z −∞ fX(s) ds o` u fX(x) est la densit´ e marginale de X donn´ ee par fX(x) = ∞ R −∞ fX,Y (x, y)dy. 3 Variables al´ eatoires ind´ ependantes Deux variables al´ eatoires X et Y sont ind´ ependantes si pour tous ensembles A et B, P(X ∈A et Y ∈B) = P(X ∈A) P(Y ∈B). En particulier: FX,Y (x, y) = FX(x) FY (y). Dans le cas de deux variables discr` etes P(X = xk et Y = yl) = P(X = xk) P(Y = yl), ∀xk, yl ∈R, et dans le cas de deux variables continues fX,Y (x, y) = fX(x) fY (y), ∀x, y ∈R. Loi de probabilit´ e d’une fonction de variables al´ eatoires Changement de variables ` a une dimension Si X est une variable al´ eatoire continue de densit´ e fX(x) et si Y = g(X) pour une fonction g r´ eelle et inversible, on a FY (y) = Z g−1(−∞,y) fX(x)dx. Si g(x) est strictement monotone et continˆ ument d´ erivable, alors la variable al´ eatoire Y = g(X) est une variable al´ eatoire continue, avec densit´ e fY (y) = ( fX(g−1(y)) d g−1(y) dy , si y = g(x) pour un x quelconque, 0, si y ̸= g(x) pour tout x. Changement de variables ` a deux dimension Si (X1, X2) sont deux variables al´ eatoires conjointement continues de densit´ e fX1,X2(x1, x2) et si (Y1, Y2) = (g1(X1, X2), g2(X1, X2)) pour une fonction g = (g1, g2) inversible, on a FY1,Y2(y1, y2) = ZZ g1(x1, x2) ≤y1 g2(x1, x2) ≤y2 fX1,X2(x1, x2) dx1dx2 En particulier, si g(x) est une bijection continˆ ument d´ erivable avec son inverse not´ e par h = (h1, h2), alors le couple al´ eatoire (Y1, Y2) est conjointement continu, avec densit´ e fY1,Y2(y1, y2) = fX1,X2 (h1(y1, y2), h2(y1, y2)) |J(y1, y2)| o` u |J(y1, y2)| est le jacobien de h, et J(y1, y2) = ∂h1 ∂y1 ∂h2 ∂y2 −∂h1 ∂y2 ∂h2 ∂y1 . 4 Esp´ erance math´ ematique D´ efinition Soit X une variable al´ eatoire. On d´ esigne par E[X] = Z xdFX(x) l’esp´ erance math´ ematique de X, definie quand E(|X|) < ∞. 4 Esp´ erance d’une fonction de variables al´ eatoires Soit g une fonction r´ eelle. L’esp´ erance de g(X) se calcul par E[g(X)] = R g(x)dFX(x). En particulier, pour une variable discr` ete E[g(X)] = P k∈K g(xk)P(X = xk) pour une variable continue E[g(X)] = ∞ R −∞ g(x)fX(x) dx pour un couple (X, Y ) E[g(X, Y )] = ∞ R −∞ ∞ R −∞ g(x, y)fX,Y (x, y) dxdy Propri´ et´ es de l’esp´ erance Esp´ erance d’une constante E[c] = c pour toute constante c r´ eelle Lin´ earit´ e E[a + bX + cY ] = a + bE[X] + cE[Y ] pour tous r´ eels a, b, c Positivit´ e E[X] ≥0 si X ≥0 Variance et covariance Soient X et Y variables al´ eatoires telles que E(X2), E(Y 2) < +∞. On d´ efinit les quantit´ es suivantes: Variance de X var[X] = E[(X −E[X])2] = E[X2] −E[X]2 = E[X2] −E[X]2 Covariance de X et Y cov[X, Y ] = E[(X −E[X])(Y −E[Y ])] = E[XY ] −E[X]E[Y uploads/Litterature/ formulaire-probabilites-et-statistiques.pdf

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