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ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE POLYTECHNIQUE Aléatoire Introduct

ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE POLYTECHNIQUE Aléatoire Introduction à la théorie et au calcul des probabilités Sylvie Méléard • L E S É D I T I O N S D E L ' É C O L E P O L Y T E C H N I Q U E ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE POLYTECHNIQUE Ce logo a pour objet d’alerter le lecteur sur la menace que représente pour l’avenir de l’écrit, tout particulièrement dans le domaine universitaire, le développement massif du « photocopillage ». Cette pratique qui s’est généralisée, notamment dans les établissements d’enseignement, provoque une baisse brutale des achats de livres, au point que la possibilité même pour les auteurs de créer des œuvres nouvelles et de les faire éditer correctement est aujourd’hui menacée. Nous rappelons donc que la production et la vente sans autorisation, ainsi que le recel, sont passibles de poursuites. Les demandes d’autorisation de photocopier doivent être adressées à l’éditeur ou au Centre français d’exploitation du droit de copie : 20, rue des Grands-Augustins, 75006 Paris. Tél. : 01 44 07 47 70. © Éditions de l’École Polytechnique - Décembre 2010 91128 Palaiseau Cedex ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE POLYTECHNIQUE À Margot et Martin ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE POLYTECHNIQUE Table des matières 1 Introduction 7 1.1 Remerciements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Avant-Propos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Phénomènes aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4 Deux idées majeures et incontournables . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4.1 La loi des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4.2 Conditionnement et Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5 Les variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5.1 Loi d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5.2 Simulation de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.6 Historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 Espace de probabilité 17 2.1 Le langage des probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.1 Expériences et événements aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.2 Probabilité - Premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2 Probabilité sur un espace ﬁni - Calcul combinatoire . . . . . . . . . . . 23 2.2.1 Déﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.2 Probabilité Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.3 Modèles d’urnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3 Déﬁnition générale des Probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3.1 Pourquoi la déﬁnition précédente ne suﬃt-elle pas ? . . . . . . . 30 2.3.2 Les ensembles dénombrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3.3 Tribu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3.4 Déﬁnition d’une probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.3.5 Probabilités sur un espace dénombrable . . . . . . . . . . . . . 36 2.4 Loi d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.5 Conditionnement et indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.5.1 Probabilités conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.5.2 Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.5.3 Le Lemme de Borel-Cantelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.6 Exercices sur le chapitre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3 ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE POLYTECHNIQUE 4 TABLE DES MATIÈRES 3 Espace ﬁni ou dénombrable 51 3.1 Prérequis : quelques résultats utiles sur les séries . . . . . . . . . . . . 51 3.2 Variables aléatoires discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.3 Espérance des variables aléatoires discrètes . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.3.1 Déﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.3.2 Propriétés de l’espérance des variables aléatoires discrètes . . . 56 3.3.3 Variance et écart-type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.3.4 Un résultat fondamental - Moments d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.4 Fonction génératrice d’une variable aléatoire à valeurs entières . . . . 59 3.5 Variables aléatoires discrètes usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.5.1 Variable aléatoire de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.5.2 Variable aléatoire binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.5.3 Probabilité de succès et variable aléatoire géométrique . . . . . 64 3.5.4 Variable aléatoire de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.6 Lois conditionnelles et indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.6.1 Lois conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.6.2 Espérance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.6.3 Variables aléatoires indépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.6.4 Somme de variables aléatoires indépendantes . . . . . . . . . . 74 3.7 Exercices sur le chapitre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4 Variables aléatoires réelles uploads/Litterature/ introdution-a-la-theorie-des-probabilites-pdf.pdf