Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Les lois de probabilités 1. Généralités Définir la loi de probabilité d’une exp

Les lois de probabilités 1. Généralités Définir la loi de probabilité d’une expérience aléatoire, c’est déterminer les probabilités p1, p2, … , pn, de chacun de ces évènements : x1, x2, … , xn. Variable aléatoire et loi de probabilité Définir une variable aléatoire X, c’est :  faire une partition de l’univers  avec les évènements constitué par les différentes issues possibles de l’expérience,  associer à chaque évènement d’une épreuve un nombre réel xi. Exemple : Une urne contient dix boules indiscernables au toucher, l’une d’entre-elles porte le numéro 10, deux portent le numéro 5, trois portent le numéro 3 et les autres portent le numéro 1. L’expérience consiste à extraire au hasard une boule de l’urne et à noter son numéro. L’univers  de cette expérience est formé de l’ensemble des 10 boules. On s’intéresse aux 4 évènements suivants qui forment une partition de  : Variable aléatoire : A1 : « la boule extraite porte le numéro 10 »; A2 : « la boule extraite porte le numéro 5 » ; A3 : « la boule extraite porte le numéro 3 »; A4 : « la boule extraite porte le numéro 1 ». On vient d’associer à chaque évènement de la partition un nombre réel xi et donc de définir la variable aléatoire X : «numéro de la boule extraite». On dit que xi =10 est une représentation de la variable aléatoire X Loi de probabilité : A1 : « la boule extraite porte le numéro 10 » dont la probabilité est ; A2 : « la boule extraite porte le numéro 5 », dont la probabilité est ; A3 : « la boule extraite porte le numéro 3 », dont la probabilité est ; A4 : « la boule extraite porte le numéro 1 », dont la probabilité est . On peut consigner ces résultats dans un tableau tel que celui-ci : valeurs possibles de l’expérience x1 =10 x2=5 x3=3 x4=1 probabilité correspondante p1=1/10 p2=2/10 p3=3/10 p4=4/10 Remarque : on a p1 + p2 + … + pn = 1 Espérance mathématique et variance Espérance mathématique d’une variable aléatoire : Quand les évènements d’une partition n’ont pas la même probabilité on ne parle pas de moyenne mais d’espérance mathématique que on note E{X}. E{X}= p x i n i i 1 avec n le nombre d’événements de la partition Si les pi sont tous égaux (équiprobabilité avec pi = 1/n) alors E{X} est égale à une simple moyenne. Dans notre exemple : E{X}= 10 + 5 + 3 + 1 = 3,3 Si les évènements avaient tous la même probabilité 4 1 l’espérance mathématique (la moyenne) serait égale à 4,75. Variance d’une variable aléatoire: Si la loi de probabilité est équiprobable, la variance chiffre la dispersion des évènements autour de la valeur moyenne. Si cette dispersion est grande la moyenne est peu significative de la variable aléatoire. La variance chiffre en quelque sorte la qualité de la moyenne. En effet si la moyenne d’une classe et de 12 mais que la dispersion est grande, un élève ne peut pas vraiment être persuadé de sa note. Si maintenant il sait que la dispersion est faible, il peut s’attendre à avoir une note proche de 12. Lorsque la loi de probabilité n’est pas équiprobable la variance chiffre la dispersion autour de l’espérance mathématique. Elle se note V(X) et : V(X) = (x1 – E(X))²  p1 + (x2 – E(X))²  p2 + … + (xn – E(X))²  pn. Soit :   2 1 ( ) ( ) n i i i V X p x E X     On somme les écarts à l’espérance mathématique au carré afin que les écarts négatifs ne compensent pas les écarts positifs. De la même façon que dans l’espérance mathématique, ces écarts sont pondérés avec les probabilités des évènements. Afin de s’affranchir de cette somme au carré peu parlante on définit l’écart type de la variable aléatoire et : L’écart type est la racine carrée de la variance :   X V X   La loi de probabilité, l’espérance mathématiques et l’écart type définissent clairement une variable aléatoire. La loi Binomiale Epreuve de Bernoulli Considérons une expérience dont l'univers ne contient que deux événements élémentaires. On appelle succès la réalisation de A et échec la réalisation de son contraire A . Posons P(A) = p la probabilité de l’événement A et P( A ) = q la probabilité de l’événement A . p et q sont liés par la relation p + q = 1 Exemple : Un joueur lance un dé non pipé et on s’intéresse à l’obtention du six. Soit A l'événement «on obtient un trois ». Nous avons P(A) = 1/6 et P ( A ) = 5/6. Lorsqu'on s'intéresse ainsi à un événement A ou à son contraire A , la réalisation de l'expérience est appelée épreuve de Bernoulli. Loi Binomiale Considérons une suite de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. On note p la probabilité commune de succès. On dit alors qu’on est dans un schéma de Bernoulli caractérisé par p la probabilité de succès à chaque épreuve et n le nombre d’épreuves. Soit n un entier tel que n  1 et soit p  [0, 1]. Par définition la variable aléatoire X qui désigne le nombre de succès de probabilité commune p dans un schéma de Bernoulli suit une loi binomiale de paramètres n et p, notée B (n ; p) Exemple : On lance plusieurs fois un dé et on s’intéresse au nombre d’apparitions du six. On lance le dé deux fois : La loi de probabilité de la variable X qui compte le nombre de succès est : L’espérance mathématique E (X) = 3  1 6 = 1 2 La variance est V(X) = 3  1 6  5 6 = 5 12 Ainsi E{X} = n p et V(X) ) = n p p 1.1. Loi normale ou de Gauss xi 0 1 2 3 p( X = xi ) 125 216 25 72 5 72 1 216 Supposons que nous tirions des échantillons aléatoires d'une population dont la taille moyenne est de 170 cm, avec un écart type de 10 cm. Traçons l'histogramme de la taille, avec des classes de 5cm de large. Examinons l’aspect de ces histogrammes. Echantillon de 10 individus n o m b r e d’ i n d i v i d u s taille (cm) 140 160 180 200 120 2 1 0 3 Echantillon de 100 individus n o m b r e d’ i n d i v i d u s taille (cm) 140 160 180 200 120 10 5 15 20 Echantillon de 1000 individus n o m b r e d’ i n d i v i d u s taille (cm) 140 160 180 200 120 100 50 0 150 Echantillon de 10.000 individus n o m b r e d’ i n d i v i d u s taille (cm) 140 160 180 200 120 1000 500 0 1500 Echantillon de 100.000 individus. (ici, les classes sont de 2 cm) n o m b r e d’ i n d i v i d u s taille (cm) 140 160 180 200 120 4000 2000 0 6000 Au fur et à mesure que la taille de l'échantillon augmente (et que la taille des classes diminue), l'histogramme devient de plus en plus régulier et se rapproche d'une courbe en cloche, appelée loi normale. Loi normale n o m b r e d’ i n d i v i d u s taille (cm) 140 160 180 200 120 La loi normale est la loi statistique la plus répandue et la plus utile. Elle représente beaucoup de phénomènes aléatoires. De plus, de nombreuses autres lois statistiques peuvent être approchées par la loi normale, tout spécialement dans le cas des grands échantillons. Son expression mathématique est la suivante:   2 2 2 2 ) (        x e n x n n(x) +    x   est la moyenne   l’écart type  n le nombre total d’individus dans l’échantillon  n(x) le nombre d’individus pour lesquels la grandeur analysée a la valeur x. Lorsque la distribution des individus dans une population obéit à la loi normale, on trouve : A. 50 % des individus en dessous de la moyenne  et 50 % au-dessus (la loi normale est symétrique) x  50 % B. 68 % des individus entre  et  x      +  68 % C. 95 % des individus entre -1,96 et +1,96, que nous arrondirons à l’intervalle 2,  x    2  + 2 95 % D. 99,7 % des individus entre  et  (il y a donc très peu de chances qu’un individu s’écarte de la moyenne de plus de 3). x  uploads/Litterature/ la-loi-de-probabilite-ver1.pdf