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Erratum Dans la section «0.4 Comment m’aider à rendre ces notes plus utiles ?»,

Erratum Dans la section «0.4 Comment m’aider à rendre ces notes plus utiles ?», il est dit d’écrire au jury pour demander de les avoir à l’oral. Il ne faut pas leur écrire parce que ce texte est vendu précisément pour ne pas avoir à demander l’autorisation. Il est donc inutile de les ennuyer avec ça. La version commercialisée commence après cette page. Le Frido, volume 1 Plusieurs versions et extensions de ce document. La version courante Vous trouverez une version dédiée à l’agrégation régulièrement mise à jour à l’adresse suivante : http://laurent.claessens-donadello.eu/pdf/lefrido.pdf La version la plus complète Une version plus complète, comprenant le Frido, des exercices ainsi que de la mathématique de niveau recherche : http://laurent.claessens-donadello.eu/pdf/mazhe.pdf Tout ce qu’il faut savoir pour recompiler soi-même Pour savoir comment recompiler ce document à l’identique, il faut lire https://github.com/LaurentClaessens/mazhe http://laurent.claessens-donadello.eu/pdf/readme.pdf Copyright 2011-2016 Laurent Claessens, Carlotta Donadello Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document under the terms of the GNU Free Documentation License, Version 1.3 or any later version published by the Free Software Foundation; with no Invariant Sections, no Front-Cover Texts, and no Back-Cover Texts. A copy of the license is included in the chapter entitled “GNU Free Documentation License”. Illustration de couverture : Pepper&Carrot http://www.peppercarrot.com/fr par David Revoy. ISBN : 978-2-9540936-5-9 2 Thèmes Ceci est une sorte d’index thématique. Thème 1 : Fonctions Lipschitz (1) Déﬁnition : 11.189. (2) La notion de Lipschitz est utilisée pour déﬁnir la stabilité d’un problème, déﬁnition 25.23. Thème 2 : Polynôme de Taylor (1) Énoncé : théorème 11.204. (2) Le polynôme de Taylor généralise à l’utilisation de toutes les dérivées disponibles le résultat de développement limité donné par la proposition 11.76. (3) Il est utilisé pour justiﬁer la méthode de Newton autour de l’équation (25.128). Thème 3 : Points ﬁxes (1) Il y a plusieurs théorèmes de points ﬁxes. Théorème de Picard 16.109 donne un point ﬁxe comme limite d’itérés d’une fonction Lipschitz. Il aura pour conséquence le théorème de Cauchy-Lipschitz 16.123, l’équation de Fredholm, théorème 16.114 et le théorème d’inversion locale dans le cas des espaces de Banach 16.128. Théorème de Brouwer qui donne un point ﬁxe pour une application d’une boule vers elle-même. Nous allons donner plusieurs versions et preuves. (a) Dans Rn en version C8 via le théorème de Stokes, proposition 16.117. (b) Dans Rn en version continue, en s’appuyant sur le cas C8 et en faisant un passage à la limite, théorème 16.118. (c) Dans R2 via l’homotopie, théorème 19.19. Oui, c’est très loin. Et c’est normal parce que ça va utiliser la formule de l’indice qui est de l’analyse complexe 1. Théorème de Markov-Kakutani 16.121 qui donne un point ﬁxe à une application conti- nue d’un convexe fermé borné dans lui-même. Ce théorème donnera la mesure de Haar 16.122 sur les groupes compacts. Théorème de Schauder 16.119 qui est une version valable en dimension inﬁnie du théo- rème de Brouwer. (2) Pour les équations diﬀérentielles (a) Le théorème de Schauder a pour conséquence le théorème de Cauchy-Arzela 16.125 pour les équations diﬀérentielles. (b) Le théorème de Schauder 16.119 permet de démontrer une version du théorème de Cauchy-Lipschitz (théorème 16.123) sans la condition Lipschitz, mais alors sans unicité de la solution. Notons que de ce point de vue nous sommes dans la même situation que la diﬀérence entre le théorème de Brouwer et celui de Picard : hors hypothèse de type «contraction», point d’unicité. (3) En calcul numérique — La convergence d’une méthode de point ﬁxe est donnée par la proposition 25.55. — La convergence quadratique de la méthode de Newton est donnée par le théorème 25.61. — En calcul numérique, section 25.6 — Méthode de Newton comme méthode de point ﬁxe, sous-section 25.7.2. (4) D’autres utilisation de points ﬁxes. — Processus de Galton-Watson, théorème 28.47. — Dans le théorème de Max-Milgram 17.44, le théorème de Picard est utilisé. 1. On aime bien parce que ça ne demande pas Stokes, mais quand même hein, c’est pas gratos non plus. 3 Thème 4 : Méthode de Newton (1) Nous parlons un petit peu de méthode de Newton en dimension 1 dans 25.7. (2) La méthode de Newton fonctionne bien avec les fonction convexes par la proposition 25.62. (3) La méthode de Newton en dimension n est le théorème 25.68. (4) Un intervalle de convergence autour de α s’obtient par majoration de |g1|, proposition 25.55. (5) Un intervalle de convergence quadratique s’obtient par majoration de |g2|, théorème 25.61. (6) En calcul numérique, section 25.7. Thème 5 : Enveloppes (1) L’ellipse de John-Loewner donne un ellipsoïde de volume minimum autour d’un compact dans Rn, théorème 13.212. (2) Le cercle circonscrit à une courbe donne un cercle de rayon minimal contenant une courbe fermée simple, proposition 14.81. (3) Enveloppe convexe du groupe orthogonal 12.36. Thème 6 : Produit semi-direct de groupes (1) Déﬁnition 2.85. (2) Le corollaire 2.87 donne un critère pour prouver qu’un produit NH est un produit semi- direct. (3) L’exemple 12.80 donne le groupe des isométries du carré comme un produit semi-direct. (4) Le théorème 12.44 donne les isométries de Rn par IsompRnq “ Tpnq ˆρ Opnq où Tpnq est le groupe des translations. (5) La proposition 12.46 donne une décomposition du groupe orthogonal Opnq “ SOpnq ˆρ C2 où C2 “ tId, Ru où R est de déterminant ´1. (6) La proposition 8.44 donne AﬀpRnq “ Tpnq ˆρ GLpn, Rq où AﬀpRnq est le groupe des applications aﬃnes bijectives de Rn. Thème 7 : Racines de polynôme et factorisation de polynômes (1) Si A est une anneau, la proposition 3.111 factorise une racine. (2) Si A est un anneau, la proposition 3.113 factorise une racine avec sa multiplicité. (3) Si A est un anneau, le théorème 3.115 factorise plusieurs racines avec leurs multiplicités. (4) Si K est un corps et α une racine dans une extension, le polynôme minimal de α divise tout polynôme annulateur par la proposition 4.55. (5) Le théorème 4.58 annule un polynôme de degré n ayant n ` 1 racines distinctes. (6) La proposition 4.105 nous annule un polynôme à plusieurs variables lorsqu’il a trop de racines. (7) En analyse complexe, le principe des zéros isolés 19.20 annule en gros toute série entière possédant un zéro non isolé. (8) Polynômes irréductibles sur Fq. Thème 8 : Théorème de Bézout (1) Pour Z˚ c’est le théorème 2.24. (2) Théorème de Bézout dans un anneau principal : corollaire 3.69. (3) Théorème de Bézout dans un anneau de polynômes : théorème 3.105. (4) En parlant des racines de l’unité et des générateurs du groupe unitaire dans le lemme 3.9. Au passage nous y parlerons de solfège. 4 Thème 9 : Équations diophantiennes (1) Équation ax ` by “ c dans N, équation (2.57). (2) Dans 2.5.5, nous résolvons ax ` by “ c en utilisant Bézout (théorème 2.24). (3) L’exemple 3.79 donne une application de la pure notion de modulo pour x2 “ 3y2 ` 8. Pas de solutions. (4) L’exemple 3.80 résout l’équation x2`2 “ y3 en parlant de l’extension Zri ? 2s et de stathme. (5) Les propositions 3.81 et 3.84 parlent de triplets pythagoriciens. (6) Le dénombrement des solutions de l’équation α1n1 ` . . . αpnp “ n utilise des séries entières et des décomposition de fractions en éléments simples, théorème 16.59. Thème 10 : Application réciproque (1) Déﬁnition 5.172. (2) Dans le cas des réels, des exemples sont donnés en 11.268. Thème 11 : Extension de corps et polynômes (1) Déﬁnition d’une extension de corps 4.37. (2) Pour l’extension du corps de base d’un espace vectoriel et les propriétés d’extension des applications linéaires, voir la section 6.30. (3) Extension de corps de base et similitude d’application linéaire (ou de matrices, c’est la même chose), théorème 6.345. (4) Extension de corps de base et cyclicité des applications linéaires, corollaire 6.344. (5) À propos d’extensions de Q, le lemme 4.102. Thème 12 : Rang (1) Déﬁnition 6.12. (2) Le théorème du rang, théorème 6.13 (3) Prouver que des matrices sont équivalentes et les mettre sous des formes canoniques, lemme 6.15 et son corollaire 6.16. (4) Tout hyperplan de Mpn, Kq coupe GLpn, Kq, corollaire 6.16. Cela utilise la forme canonique sus-mentionnée. (5) Le lien entre application duale et orthogonal de la proposition 6.32 utilise la notion de rang. (6) Prouver les équivalences à être un endomorphisme cyclique du théorème 6.343 via le lemme 6.342. Thème 13 : Topologie produit (1) La déﬁnition de la topologie produit est 5.5. (2) Pour les espaces vectoriels normés, le produit est donné par la déﬁnition 6.197. (3) L’équivalence entre la topologie de la norme produit et la topologie produit est le lemme 6.199. Thème 14 : Produit de compact (1) Les produits d’espaces métriques compacts sont compacts ; c’est le théorème de Tykhonov. Nous verrons ce résultat dans les cas suivants. — R, lemme 5.106. — Produit ﬁni d’espaces métriques compacts, théorème 5.147. — Produit dénombrable d’espaces métrique compacts, théorème 5.149. 5 Thème 15 : Connexité (1) Déﬁnition 5.67 (2) Le groupe SLpn, Kq est connexe par arcs uploads/Litterature/ le-frido-mathematique-pour-l-x27-agregation-volume-1.pdf