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Algèbre 1 MIAS 1 Thierry Cuesta 26 septembre 2003 Le présent cours trouve sa so

Algèbre 1 MIAS 1 Thierry Cuesta 26 septembre 2003 Le présent cours trouve sa source dans les notes que j’avais rédigées lors du premier semestre de l’année universitaire 2001/2002, alors que j’enseignais pour la première fois l’algèbre en DEUG MIAS. Les trois heures hebdomadaires dédiées à cet enseignement dans l’emploi du temps des étudiants, ne m’avaient pas permis de justiﬁer chacun des énoncés. J’avais le sentiment d’avoir bâclé une bonne partie des démonstrations, d’avoir laissé de côté une part trop importante du formalisme sans doute nécessaire, aﬁn de ménager suﬃsamment de temps pour traiter les exercices des TD. Ces frustrations conjuguées à : une panne de voiture durant l’été 2002, l’achat d’un ordinateur, l’envie d’apprivoiser le « traitement de texte » L AT EX, ont eu pour conséquence la rédaction de la première version de ce cours. La version actuelle de ce cours n’est que la version révisée et (peu) augmentée de la version initiale. Il est probable que quelques erreurs subsistent, en dépit des relectures auxquelles je me suis livré. Toute personne débusquant une erreur, ou mieux encore : corrigeant une erreur, se verra attribuer une forte récompense... pour peu que le budget “récompenses” soit enﬁn voté en conseil d’administration. Vous pouvez m’envoyer vos com- mentaires, suggestions, corrections, etc. par e-mail, à l’adresse : Thierry.Cuesta@ac-creteil.fr. J’espère que ce document est auto-suﬃsant. Si mon but est atteint, une lecture attentive devrait permettre, à ceux qui s’y astreindront, d’acquérir le contenu théorique du tout premier semestre d’algèbre du DEUG MIAS. Il ne s’agit cependant pas d’un encouragement à ne plus venir à l’université assister aux cours ! Mieux vaut avoir des versions diﬀérentes d’une même notion ; la version « live » est interactive, et en principe moins abstraite et plus condensée que la présente version. La réponse d’un enseignant à une question que vous lui poserez vous fera gagner un temps précieux pour la compréhension d’un chapitre. Une fois ﬁxé sur le papier, un cours ne saurait réagir à vos diﬃcultés comme le fera votre professeur. N’oubliez pas que rare sont les enseignants condamnés pour cannibalisme, et qu’ils sont en général soucieux de votre réussite. Je remercie Lionel Girard qui m’a tant vanté les mérites de T EX que je n’ai pu faire autrement que de m’y essayer, les « chefs d’orchestre » Étienne Sandier et Raphaël Danchin pour leur ouverture d’esprit favorisant les initiatives chez leurs collaborateurs, Clothilde Melot qui m’a poussé vers l’ALU avant même d’avoir pris connaissance du contenu de ce cours, les membres de l’équipe de mathématiques de l’université Paris XII Val- de-Marne avec lesquels je travaille depuis 1998 et qui m’ont accordé leur conﬁance. Thierry Cuesta 1 Table des matières 1 Introduction 4 1.1 Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.3 Lois internes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Analyse combinatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.1 Permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.2 Arrangements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.3 Combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.4 Binôme de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2 Nombres complexes 12 2.1 L’ensemble C des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.1.1 Une construction de C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.1.2 Les nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2 Équations du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2.1 Équations de type z2 = α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2.2 Équations de type az2 + bz + c = 0, a ̸= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3 Racines n-ièmes de l’unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3 Polynômes 21 3.1 L’anneau K[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.1.1 L’ensemble K[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.1.2 Structures algébriques sur K[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.1.3 Polynômes à coeﬃcients dans K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.2 Division euclidienne dans K[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.2.1 Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.2.2 K[X] est principal . . . . uploads/Litterature/ cours-de-math-pdf.pdf