Ccp psi math1 2014e B E E B B B B E C E B C E F E B B E B E B E C F A B A E C A D E C A A A C E B F E A C E E C A F E F C E A E C C E F C A

B E E B B B B E C E B C E F E B B E B E B E C F A B A E C A D E C A A A C E B F E A C E E C A F E F C E A E C C E F C A B C A E A E F E E F E C E B E B A B E B E A E B E E E B F C F E F E B C E E A E C B B C E C A E E D B A E E A A C E B F A F E F E E E Les calculatrices sont autorise ?es Notations de ? ?nitions et rappels Pour toute fonction f a b ? R de classe C on note b L f f t dt a une expression inte ?grale de la longueur de la courbe repre ?sentative de f Partie I Quelques exemples de calculs de longueurs I Ve ?ri ?er la formule donnant L f pour f de ? ?nie sur par f t t I Calculer L f pour f de ? ?nie sur par f t ch t CI Un exemple de calcul de longueur d ? un arc de courbe I Calculer L f pour f de ? ?nie sur ?? ?? par f t ?? t I Retrouver le re ?sultat de la question I sans calcul par des conside ?rations ge ?ome ?triques I Soit f de ? ?nie sur par f t t Calculer L f en utilisant une inte ?gration par parties ou en s ? inspirant de la question I Partie II Un calcul approche ? de longueur L ? objectif de cette partie est d ? e ?ectuer un calcul approche ? de la longueur d ? un arc d ? hyperbole On conside re pour ce faire la fonction f de ? ?nie sur par f t t II Expression inte ?grale de L f II Donner une expression inte ?grale de L f II Montrer que L f est aussi la longueur de l ? arc d ? hyperbole correspondant ala restriction de f a l ? intervalle II Expression de L f sous forme de se ?rie nume ?rique II Soit ?? R N Rappeler le de ?veloppement en se ?rie entie re de la fonction u ? u en pre ?cisant son domaine de validite ? II Montrer que pour tout t ?? on a ?? t t t ? ?? n ?? n n ?? n n n t n ?? II On note pour tout entier n ? an n n ?? n n Montrer que la suite an n ??N ? est de ?croissante et donner un e ?quivalent de an quand n tend vers l ? in ?ni II En de ?duire une expression de L f comme somme

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