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Centrale supelec pc 2006 maths 1 epreuve 1

MATHÉMATIQUES I MATHÉMATIQUES I Filière PC Notations On note I le segment ?? de IR et E l ? espace préhilbertien complexe des fonctions continues sur I à valeurs complexes muni du produit scalaire ? f g a f g f t g t dt I Pour tout nombre complexe z n ? appartenant pas à l ? intervalle ?? ? on note Arg z l ? unique nombre réel appartenant à l ? intervalle ?? ? ? tel que z z eiArg z Pour n p ?? IN et p ? n Cnp ? n p ? -p---- -- --n--n---- ?? -----p---- -- Questions préliminaires a Déterminer le développement en série entière au point de la fonction ?? ? ? IR x a ------- ------- ??x et préciser le rayon de convergence de la série entière obtenue b Pour n ?? IN on pose an --- - --n-- ? n n ? Montrer que la fonction ? CI ? CI z a ? anzn est dé ?nie sur ? z ?? CI z n c Montrer que est une racine carrée de la fonction ? ? CI z a - ---- ??-----z- autrement dit pour tout z ?? ? z - ---- ??-----z- d Montrer que ??z ?? ? z --------- --------- ??-i- e Arg ?? z Que vaut x lorsque x ?? ?? ??z On pourra dorénavant noter z ?? z ?? ? pour z ?? ? Concours Centrale-Supélec CMATHÉMATIQUES I Filière PC Filière PC e Cette question est indépendante des précédentes Pour tout entier naturel n prouver l ? existence d ? une fonction polynomiale Hn telle que pour tout réel on a Hn cos cosn Partie I - I A - Montrer que pour tout t ?? I la fonction ?t ?? ? IR x a f t x dé ?nie par ?t x ?? xt x ?? ? est l ? unique solution sur ?? d ? une équation di ?érentielle linéaire du premier ordre à coef ?cients polynomiaux prenant la valeur en On donnera cette équation di ?érentielle E a t x y ?? b t x y o? a et b sont des polynômes unitaires en x I B - I B Véri ?er que pour x ?? - et ?? IR on a ? ? ? cos x xei xe ??i puis ? cos x Gn xn n o? Gn est une combinaison linéaire à coef ?cients positifs d ? applications de la forme a eik o? k ?? ZZ Préciser la valeur de Gn I B Montrer que pour n ?? IN et ?? IR on a Gn Pn cos o? Pn est un polynôme à coef ?cients réels I B Montrer que pour n ?? IN et ?? IR on a Gn ? Gn puis que pour ? ? t ?? ?? et x ?? - f t x Pn t xn n avec convergence normale sur ?? ? ??a a o? a ?? I B Montrer que la suite