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Universit´ e Paris-Sud 11 L3 de Physique et Chimie M´ ethodes Math´ ematiques p

Universit´ e Paris-Sud 11 L3 de Physique et Chimie M´ ethodes Math´ ematiques pour la Licence de Physique et Chimie Jean-Luc Raimbault Laboratoire de Physique des Plasmas Ecole Polytechnique, jean-luc.raimbault@lpp.polytechnique.fr 2010 - 2011 2 M´ ethodes math´ ematiques - L3 Physique et Chimie - Ann´ ee 2010 - Jean-Luc Raimbault 3 Les pages qui suivent pr´ esentent quelques m´ ethodes math´ ematiques que vous aurez ` a utiliser dans vos cours de Physique et Chimie. Cet enseignement de Math´ ematique est structur´ e en 5 grandes parties : – Variables complexes – Equations diﬀ´ erentielles – Analyse dans Rn – Alg` ebre lin´ eaire – Analyse de Fourier. Au sein de chacune de ses parties, plusieurs chapitres, allant du plus simple au plus compliqu´ e, sont propos´ es. Les chapitres 1, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 14 et 15 (cf. sommaire) seront trait´ es en premi` ere intention et devraient ˆ etre maˆ ıtris´ es par tous les ´ etudiants. Ils constituent la base du programme sur lequel vous serez interrog´ es. Les chapitres compl´ ementaires, qui abordent des notions plus avanc´ ees, peut-ˆ etre moins utiles pour certains d’entre vous, seront ´ etudi´ es si le temps le permet et/ou propos´ es aux ´ etudiants suﬃsamment ` a l’aise sur les chapitres de base. Mettre en œuvre des m´ ethodes math´ ematiques dans le contexte d’un probl` eme de Physique ou Chimie suppose une connaissance des concepts math´ ematiques associ´ es (ce que ce cours vous rappellera ou vous fera d´ ecouvrir), et surtout une mise en pratique qui passe par la r´ esolution de nombreux exercices. Cela suppose une pr´ esence assidue et active aux cours et aux travaux dirig´ es mais ´ egalement un travail personnel important. Cette implication personnelle est d´ eterminante et sera encourag´ ee. L’objectif est d’arriver progressivement ` a identiﬁer vos lacunes, puis ` a travailler - avec notre aide - ` a les combler, enﬁn ` a estimer par vous-mˆ eme le niveau de compr´ ehension que vous avez atteint. Pour vous y aider, des devoirs et tests vous seront r´ eguli` erement propos´ es et des livres d’exercices seront ` a votre disposition. Enﬁn, il est bon de rappeler qu’un bagage math´ ematique s’entretient. Il vous faut donc pr´ evoir de revenir p´ eriodiquement, tout au long de vos ´ etudes (et mˆ eme apr` es !) sur des concepts et des m´ ethodes que vous maˆ ıtriserez d’autant moins que vous les utiliserez de fa¸ con occasionnelle. Les livres sont faits pour ¸ ca. Les quelques indications suivantes pourront ´ eventuellement vous guider dans la jungle des ouvrages disponibles. Commen¸ cons par des ouvrages ´ ecrits g´ en´ eralement par des physiciens qui suivent une approche assez prag- matique. 1. Mathematical Methods for Scientists and Engineers, Donald McQuarrie, University Science Books, 2003. Livre d’un c´ el` ebre physico-chimiste, excellent p´ edagogue. Le contenu est tr` es progressif et contient beaucoup d’illustrations. A recommander pour d´ ebuter sur beaucoup de sujets de math´ ematiques. 2. Mathematical Methods for Physicists, G. B. Arkfen and H. J. Weber, Harcourt/Academic Press, 2001. Un livre de r´ ef´ erence pour les utilisateurs de math´ ematiques en sciences appliqu´ ees. Style tr` es direct, nombreux exercices et exemples d’applications en Physique. 3. Distributions et Transformation de Fourier, Ediscience (1971, 1978), McGraw Hill (1984, 1988, 1993). Pr´ esente la th´ eorie des distributions et la transformation de Fourier sous une forme tr` es accessible au physicien. Applications ` a l’Optique. 4. S´ erie Schaum chez Ediscience ou Mac Graw Hill. S´ erie dont les diﬀ´ erents volumes sont sp´ ecialis´ es dans certains domaines des math´ ematiques. En par- ticulier, on pourra consulter : Variables complexes, Alg` ebre lin´ eaire, Equations diﬀ´ erentielles, Calcul diﬀ´ erentiel et int´ egral. L’approche est tr` es tr` es progressive, s’appuyant sur un minimum de cours, et un grand nombre d’exercices de diﬃcult´ e croissante. A recommander pour faire le point et pour le travail personnel. 5. Math´ ematiques pour l’ing´ enieur, Nino Boccara, Ellipses, 1996. 4 petits volumes traitant chacun d’un sujet : fonctions analytiques, distributions, int´ egration, et probabi- lit´ es. Les sujets sont souvent introduits par une d´ emarche historique instructive. Exercices corrig´ es. 6. Mathematiques pour la Physique, Walter Appel, H-K Editions, 2002. Un bon livre r´ ecent et rigoureux, qui fait le tour d’horizon de diﬀ´ erents domaines des math´ ematiques utiles au physicien. Les ouvrages suivants, ´ ecrits par des math´ ematiciens dans un style rigoureux, permettent d’aﬀermir les bases ou d’acqu´ erir une vision plus large de certains sujets math´ ematiques. 1. Cours de Math´ ematiques, J. Bass, Masson, 1968. M´ ethodes math´ ematiques - L3 Physique et Chimie - Ann´ ee 2010 - Jean-Luc Raimbault 4 Un bon livre ` a l’ancienne, en 2 tomes, complet sur toutes les notions ´ el´ ementaires, comprend de nombreux exercices. 2. Principe d’analyse math´ ematique, Walter Rudin, EdiScience International, 1995. Un tr` es bon livre d’analyse ´ ecrit par un math´ ematicien professionnel tr` es p´ edagogue. Utile pour revoir les notions de base d’analyse. 3. A course in mathematics for students for in physics, P. Bamberg and S. Sternberg, Cambridge University Press, 2001. Ouvrage en 2 tomes qui pr´ esente nombre de sujets traditionnels d’une fa¸ con souvent originale et profonde. A consulter pour l’ouverture d’esprit. 4. An Introduction to the Mathematical Theory of Waves, Roger Knobel, AMS, 2000. Petit ouvrage sur un sujet sp´ eciﬁque : les ondes. Tr` es simple, progressif et clair. Les ondes non-lin´ eaires sont abord´ ees. Illustration et exercices en utilisant MatLab. 5. Equations diﬀ´ erentielles et syst` emes dynamiques, J. Hubbard and B. West, traduit par V. Gautheron, Cassini, 1999. Un livre sur les ´ equations diﬀ´ erentielles, ´ ecrit dans un esprit d’introduction ` a la th´ eorie des syst` emes dynamiques, donc selon le point de vue g´ eom´ etrique. Nombreuses illustrations. 6. Dictionnaire des Math´ ematiques, Encyclopaedia Universalis, Albin Michel, 1997. Cet ouvrage regroupe les articles de math´ ematiques de la c´ el` ebre Encyclop´ edie. Ecrits par d’excellents sp´ ecialistes, ces articles de niveaux vari´ es permettent en g´ en´ eral d’avoir une vue d’ensemble sur un sujet particulier et sur ses liens avec d’autres domaines des math´ ematiques. Pas vraiment pour les d´ ebutants. A consulter en particulier pour son caract` ere synth´ etique. Signalons enﬁn pour ﬁnir, 2 excellents ouvrages abordables ` a votre niveau, ´ ecrits par deux anciens professeurs de l’Universit´ e Paris-Sud, tous deux membres de l’Acad´ emie des Sciences. 1. M´ ethodes math´ ematiques pour les sciences physiques, J.-M. Bony, Editions de l’Ecole Polytechnique, 2000. Contient l’analyse de Fourier, les fonctions d’une variable complexe et l’analyse hilbertienne. Diverses remarques sur les ´ equations de la physique math´ ematique ou l’usage des diﬀ´ erentielles en physique par exemple sont tr` es instructives. 2. Math´ ematiques pour la Licence de Physique Fondamentale, J.-P. Kahane, Editions de l’Universit´ e Paris- Sud, 1992. Oﬀre beaucoup de recul et d’´ el´ egance sur des sujets math´ ematiques traditionnels. Un grand nombre de domaines abord´ es, compl´ et´ es par des exercices en partie corrig´ es. A m´ editer. M´ ethodes math´ ematiques - L3 Physique et Chimie - Ann´ ee 2010 - Jean-Luc Raimbault Premi` ere partie Variables complexes 5 Chapitre 1 Rappels sur les nombres complexes Motivations historiques Le corps des nombres complexes Exponentielle d’un nombre complexe Repr´ esentation des nombres complexes The imaginary numbers are a wonderful ﬂight of God’s spirit ; they are almost an amphibian between being and not being. G. W. von Leibniz, 1702. 1.1 Motivations historiques En 1545, le math´ ematicien italien Girolamo Cardan 1 proposa le probl` eme suivant : “ Comment diviser une droite de longueur 10 de telle sorte que le rectangle construit avec les 2 parties de la division ait une aire de 40 ? ” 10 - x x x 10 - x Ce probl` eme a pour solutions les racines de l’´ equation du second degr´ e x(10 −x) = 40 dont on v´ eriﬁera ais´ ement qu’elle admet les 2 racines 5±√−15. Il s’agissait d’un premier cas “concret” qui conduisit ` a s’interroger sur le sens ` a donner aux racines carr´ ees de nombres n´ egatifs. Un autre exemple plus simple est donn´ e par l’´ equation x2 + 1 = 0 qui n’a aucune solution dans R puisque x2 + 1 ≥1. Deux si` ecles plus tard, vers 1740, le math´ ematicien suisse L´ eonard Euler fut le premier ` a introduire la notation i pour d´ esigner le “symbole”, √−1, soit i ≡√−1, et donc, formellement, i2 = −1. Ainsi, en utilisant formellement les r` egles de calcul ´ etablies pour les r´ eels, les solutions du probl` emes de Cardan peuvent-elles s’´ ecrire 5 ± √ −15 = 5 ± √ 15 i2 = 5 ± i √ 15 Cette ´ ecriture met donc en ´ evidence de nouvelles grandeurs math´ ematiques qui s’expriment ` uploads/Litterature/ methodes-math-ematiques-pdf.pdf