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REPUBLIQUE DU BENIN MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SC

REPUBLIQUE DU BENIN MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE UNIVERSITE POLYTECHNIQUE INTERNATIONALE DU BENIN SECTEUR : INDUSTRIEL Diplôme : DUT 1 – GTR et GEII 1 Année d’étude : 1e année (Second semestre) Notes de Cours : MATHEMATIQUES GENERALES 2 Professeur : Joël M. ZINSALO Année Académique : 2012 - 2013 Mathématiques générales 2 Par Joël M. ZINSALO Page 2 MODULE : MATHEMATIQUES GENERALES 2 Formation : DUT / GTR – GEII Année d’étude : 1ere année (Second semestre) CONTENU DU MODULE Chapitre 1 : Matrices : Définitions, types et opérations Chapitre 2 : Déterminants et inversion d’une matrice carrée Chapitre 3 : Systèmes linéaires et matrices Chapitre 4 : Fonctions à plusieurs variables Chapitre 5 : Intégrales doubles et triples Chapitre 6 : Intégrales curvilignes et intégrales de surface Chapitre 7 : Suites et séries numériques Mode d’évaluation C’est le mode d’évaluation en vigueur à l’Université Polytechnique Internationale du Bénin : un contrôle continu et un examen terminal. Mathématiques générales 2 Par Joël M. ZINSALO Page 3 CHAPITRE 1 : 1. Définitions On appelle matrice un tableau dont les éléments appartiennent à un ensemble donné ou en général. Toute matrice est formée d’un certain nombre n de lignes et d’un certain nombre p de colonnes. Soient et deux entiers non nuls. On appelle matrice à lignes et à colonnes d’éléments réels ou complexes tout tableau de la forme : [ ] ( ) Dans cette écriture, chacun des éléments de est repéré par un indice double situant, respectivement, la ligne et la colonne où se trouve cet élément. Ainsi est l’élément de situé sur la ligne et la colonne. La matrice est aussi notée : ( ) La notation désigne l’élément se trouvant à l’intersection de la ligne et de la colonne. s’appelle aussi terme général de la matrice et les sont appelés les coefficients de la matrice La matrice à lignes et à colonnes est une matrice dite matrice de format ( ) ou tout simplement matrice ( ) ou matrice de taille L’ensemble des matrices ( ) d’éléments de où = est noté ( ). MATRICES : DEFINITIONS – TYPES ET OPERATIONS Mathématiques générales 2 Par Joël M. ZINSALO Page 4 Exemples de matrices : Soit la matrice suivante . / est à 2 lignes et à 5 colonnes. est une matrice de format ( ) ou une matrice de taille Une matrice n’a pas de valeur numérique. Elle est simplement utilisée pour simplifier l’écriture d’une certaine quantité d’informations et permet une manipulation facile du point de vue mathématique. 2. Types de matrices  Une matrice ne contenant qu’une seule ligne est appelée matrice ligne ou vecteur ligne. Exemple : ( )  Une matrice ne contenant qu’une seule colonne est appelée matrice colonne ou vecteur colonne. Exemple : ( +  Une matrice dont tous les éléments sont nuls est appelée matrice nulle et est notée o. Exemple : [ ]  Une matrice ayant même nombre de lignes que de colonnes ( ) est appelée matrice carrée d’ordre n. C’est une matrice de format ( ) ou ( ) ou simplement matrice carrée d’ordre n. Les éléments de cette matrice sont appelés éléments diagonaux. Exemple : La matrice A suivante est une matrice carrée d’ordre 3. [ ] ( + Mathématiques générales 2 Par Joël M. ZINSALO Page 5 L’ensemble des matrices carrées d’ordre n d’éléments de où = est noté ( ). Nous donnons à présent les définitions de certaines matrices carrées particulières.  Matrice diagonale : C’est une matrice carrée dont les seuls éléments non nuls sont ceux de la diagonale principale. Exemple : ( + On peut la noter ( ).  Matrice identité : On appelle matrice identité d’ordre n et on note la matrice carrée, diagonale, de taille n, dont tous les éléments diagonaux sont égaux à 1. Exemple : ( +  Matrice scalaire : On appelle matrice scalaire d’ordre n toute matrice carrée où est réel ou complexe et de la forme : [ ]  Matrice triangulaire : Une matrice carrée dont tous les éléments au-dessous de la diagonale principale sont nuls est appelée matrice triangulaire supérieure. Exemple : ( + Une matrice carrée dont tous les éléments au-dessus de la diagonale principale sont nuls est appelée matrice triangulaire inférieure. Mathématiques générales 2 Par Joël M. ZINSALO Page 6 Exemple : ( + Une matrice carrée est dite matrice triangulaire si elle est triangulaire supérieure ou triangulaire inférieure. De cette définition, on retient que la matrice diagonale est à la fois triangulaire supérieure et triangulaire inférieure. 3. Transposée d’une matrice On appelle transposée d’une matrice A de taille la matrice notée ( ̃ ) de taille dont les éléments de la colonne correspondent à ceux de la ligne de A et dont les éléments de la ligne sont ceux de la colonne de A. Autrement dit, la transposée d’une matrice A est la matrice obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de A. Exemple : On considère la matrice suivante : ( + La transposée de cette matrice est : ( , Théorème  Si A et B sont deux matrices de ( ), on a : ( ) ( ) ( )  Si ( ) et ( ), on a : ( ) Mathématiques générales 2 Par Joël M. ZINSALO Page 7 4. Matrice symétrique et matrice antisymétrique  Une matrice carrée A est dite symétrique si et seulement si . C’est une matrice dont la disposition des éléments est symétrique par rapport à la diagonale principale.  Une matrice A est dite antisymétrique si et seulement si . Exemple [ ] [ ] , donc A est antisymétrique. On remarque que les éléments diagonaux d’une matrice antisymétrique sont tous nuls. 5. Opérations sur les matrices 5.1. Egalité de deux matrices Deux matrices de même format ( ) sont dites égales si et seulement si leurs éléments correspondants sont égaux. 5.2. Addition de deux matrices L’addition de deux matrices de même taille s’effectue élément par élément. L’addition de deux matrices n’est possible que si ces matrices ont le même format (même nombre de lignes et de colonnes). Si ( ) et ( ) sont deux matrices de même format ( ), on appelle somme des matrices A et B notée la matrice de format ( ) de terme général Donc : ( ) Mathématiques générales 2 Par Joël M. ZINSALO Page 8 Exemple : ( √ + ( + ( √ + 5.3. Produit d’une matrice par un scalaire On appelle produit d’une matrice ( ) par un scalaire , la matrice notée dont les éléments sont respectivement les produits par des éléments de Donc : ( ) Exemple : ( √ + ( √ + 5.4. Produit matriciel 5.4.1. Produit d’une matrice ligne et d’une matrice colonne On considère les matrices A et B suivantes : , - [ ] On a : 5.4.2. Produit d’une matrice ( ) par une matrice colonne Il est possible d’effectuer le produit d’une matrice par un vecteur colonne ⃗ si le nombre de colonnes de A est égal à la dimension de ⃗ Ainsi, si A est de format ( ), son produit par ⃗ n’est possible que si ⃗ est de dimension . Le résultat est alors un vecteur ⃗ de dimension Mathématiques générales 2 Par Joël M. ZINSALO Page 9 Soient : ( ) ( ) On définit le produit par : ( ) ( ) ( ∑ ∑ ∑ ) Exercice : Soient A, B, C, D et E les matrices suivantes : . / ( + ( + ( + ( + Calculer , et Résolution Calcul de : Remarquons d’abord que ce produit a un sens puisque la dimension de B est égale au nombre de colonnes de A. . / ( + ( ( ) ( ) ( ) * . / Calcul de ( + ( + ( + ( + Mathématiques générales 2 Par Joël M. ZINSALO Page 10 Calcul de ( + ( + ( + ( + 5.4.3.Produit d’une matrice A de type ( ) par une matrice B de type ( ) Le produit de deux matrices A et B n’est possible que si le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B. Le résultat est alors une matrice ayant autant de lignes que A et autant de colonnes que B. Ainsi si A est de format ( ) et B de format ( ) ( est alors le nombre commun de colonnes de A et de lignes de B) alors est de taille ( ) Si ( ) et ( ) alors le produit est une matrice dont le terme de la ligne, colonne est : ∑ On peut considérer que B est la juxtaposition de ses q matrices colonnes et effectuer le produit de A par chacune de ses colonnes. La juxtaposition des colonnes ainsi obtenues donne une matrice de format ( ) Exemple : uploads/Litterature/ mathematiques-generales-2-gtr-1.pdf