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Xavier Chanet Patrick Vert Mathématiques pour l’informatique Pour le BTS SIO To

Xavier Chanet Patrick Vert Mathématiques pour l’informatique Pour le BTS SIO Toutes les marques citées dans cet ouvrage sont des marques déposées par leurs propriétaires respectifs. Illustration de couverture : ©iStock.com/ahlobystov © Dunod, 2015 5 rue Laromiguière, 75005 Paris www.dunod.com ISBN 978-2-10-072075-0 III © Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit. Avant-propos VII PARTIE I MATHÉMATIQUES Chapitre 1 • Arithmétique 3 1.1 Numération et conversion 3 1.2 Divisibilité des entiers 8 1.3 Nombres premiers 8 1.4 Congruences 11 TD – Le codage affine 13 Exercices corrigés 16 Chapitre 2 • Suites numériques 35 2.1 Généralités 35 2.2 Suites particulières 36 2.3 Variations d'une suite 40 2.4 Limite d'une suite 42 TD – Évolution d’une liste de diffusion 44 Exercices corrigés 46 Chapitre 3 • Calcul matriciel 61 3.1 Généralités 61 3.2 Calcul matriciel élémentaire 62 3.3 Inverse d’une matrice carrée 68 3.4 Résolution de systèmes à l’aide de matrices 69 Exercices corrigés 70 Chapitre 4 • Logique 87 4.1 Calcul des propositions 87 4.2 Calcul des prédicats 92 4.3 Calcul booléen 95 TD – Expression booléenne 100 Exercices corrigés 103 TABLE DES MATIÈRES Mathématiques pour l’informatique IV Chapitre 5 • Ensembles 121 5.1 Langage ensembliste 121 5.2 Relations binaires 124 5.3 Applications d’un ensemble dans un ensemble 126 TD – Relation binaire dans un ensemble 129 Exercices corrigés 132 Chapitre 6 • Graphes et ordonnancement 147 6.1 Représentations d’un graphe 147 6.2 Chemins d’un graphe 150 6.3 Niveau des sommets d’un graphe sans circuit 155 6.4 Méthode MPM d’ordonnancement d’un graphe 158 TD – Déplacements dans un jeu vidéo 163 Exercices corrigés 166 Chapitre 7 • L'examen de mathématiques 183 Sujet métropole 2014 183 PARTIE II ALGORITHMIQUE APPLIQUÉE Chapitre 8 • Premiers pas 189 8.1 Qu’est-ce qu’un algorithme ? 189 8.2 Le logiciel Python 190 Chapitre 9 • Concepts fondamentaux 191 9.1 Données : types et opérations 191 9.2 Stockage des données 196 9.3 Lecture et écriture des données 198 9.4 Instructions conditionnelles 200 9.5 Instructions itératives 201 9.6 Fonctions et procédures 204 9.7 Récursivité 208 Exercices corrigés 210 Chapitre 10 • Travaux pratiques 223 10.1 Nombres parfaits 223 10.2 Évolution d'un salaire 226 10.3 Nombres premiers palindromes 229 10.4 Calcul formel 232 10.5 Calcul matriciel 234 10.6 Opérations sur les ensembles 238 © Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit. V Table des matières 10.7 Méthodes de tri 242 10.8 Cryptographie 246 Chapitre 11 • L'examen d'algorithmique 249 Examen 1 – Remplissage d'une tirelire 250 Examen 2 – La suite de Syracuse 254 PARTIE III ANNEXE Exercices supplémentaires 261 Ressources numériques Le code source des exemples est disponible gratuitement en téléchargement à l’adresse suivante : www.dunod.com/contenus-complementaires/9782100720750 VII © Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit. AVANT-PROPOS Ce livre s’adresse en premier lieu aux étudiants de première et de deuxième année préparant le BTS SIO (Services informatiques aux organisations). Il pourra égale- ment intéresser les étudiants en IUT d’informatique, ou ceux en classe préparatoire souhaitant acquérir les bases de l’algorithmique, ainsi que tous ceux qui souhaitent connaître et maîtriser les outils mathématiques nécessaires à une bonne pratique de la programmation informatique. Les auteurs, tous deux enseignants en BTS SIO, ont rédigé cet ouvrage dans le respect le plus strict des derniers programmes en vigueur. L’objectif pédagogique majeur est de fournir un outil d’accompagnement dans les apprentissages, pouvant être utilisé en classe par le professeur ou de manière plus personnelle par l’étudiant. Dans la partie Mathématiques, on trouvera dans chaque chapitre, le cours, présen- tant les notions essentielles du programme, des exercices, nombreux et variés, corri- gés ou non, allant des applications directes du cours à des problèmes plus complexes pour se perfectionner, et des travaux dirigés corrigés. Dans la partie Algorithmique appliquée, où les instructions et algorithmes sont exécutés en langage Python, on commence par présenter expérimentalement avec les activités dites « de découverte », les fondamentaux de l’algorithmique. L’étudiant peut ensuite vérifier qu’il maîtrise les concepts clés en résolvant les nombreux exer- cices, corrigés ou non. Une série de travaux pratiques, tous corrigés, montrent comment résoudre des problèmes par l’utilisation judicieuse de solutions algorith- miques. On trouve enfin, deux exemples de sujets officiels d’examen d’algorith- mique appliquée, corrigés, donnés lors de la session 2014. Ressources numériques Le code source des exemples est disponible gratuitement en téléchargement à l’adresse suivante : www.dunod.com/contenus-complementaires/9782100720750 Partie 1 Mathématiques 3 © Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit. 1 ARITHMÉTIQUE 1.1 NUMÉRATION ET CONVERSION 1.1.1 Rappels sur la division euclidienne Les entiers naturels sont 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, etc. Effectuer la division euclidienne d’un entier naturel A par un entier naturel B non nul c’est déterminer les uniques entiers Q (appelé quotient) et R (appelé reste) tels que : A = BQ + R et 0 ≤ R < B. Exemples Le quotient et le reste de la division euclidienne de A = 53 par B = 6 sont respec- tivement Q = 8 et R = 5. En effet, 53 = 6 × 8 + 5 et 0 ≤ 5 < 6. Dans la division euclidienne de 1 893 par 11, le quotient vaut 172 et le reste vaut 1. On peut obtenir ces résultats en posant la division ou avec une calculatrice. 1.1.2 Numération des entiers L’être humain compte naturellement en base 10 (avec les dix chiffres) : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, … , 97, 98, 99, 100, 101, 102, etc. PLAN 1.1 Numération et conversion 1.2 Divisibilité des entiers 1.3 Nombres premiers 1.4 Congruences OBJECTIFS ➤Présenter les grandes notions arithmétiques utiles à l’informatique. ➤Maîtriser les principes de numération indispensables aux langages de bas niveau. ➤Maîtriser les outils d'arithmétique modulaire utiles à l’algorithmique. Chapitre 1 • Arithmétique 4 On peut compter en base 2 (on n’utilise que les chiffres 0 et 1) : 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, etc. Pour compter en base 16, on utilise les dix chiffres et on en rajoute six autres (que l’on note A, B, C, D, E et F). Cela donne : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 1A, 1B, 1C, 1D, 1E, 1F, 20, 21, 22, etc. Exemples 4 en base 10, c’est 100 en base 2. 9 en base 10, c’est 1001 en base 2. A en base 16, c’est 10 en base 10. 1A en base 16, c’est 26 en base 10. Le microprocesseur d’un ordinateur ne travaille qu’avec deux chiffres : 0 (pas de courant) et 1 (courant). Les calculs s’y font donc naturellement en base 2. Le nombre 23, écrit en base 10, se note 10111 en base 2 et 17 en base 16, mais on ne peut pas écrire 23 = 10111 = 17. C’est pourquoi nous adoptons la notation (n)p pour indiquer que le nombre n est écrit en base p : (23)10 = (10111)2 = (17)16. Les écritures en bases 2, 10 et 16 s’appellent aussi respectivement les écritures binaire, décimale et hexadécimale. Lorsqu’un nombre est écrit en base 10, on peut simplifier la notation (x)10. Par exemple (201)10 peut s’écrire simplement 201. L’écriture d’un nombre entier en base 2, 10 ou 16 est unique. Pour convertir un entier d’une base à l’autre, il est important de comprendre la relation algébrique que l’on a entre une base p et l’écriture du nombre dans cette base p. C’est ce qu’énonce la propriété suivante. Exemple Conversion vers la base 10 : (11011)2 = 1 ×¬24¬+¬1¬×¬23¬+¬0¬×¬22¬+¬1¬×¬2¬+¬1¬=¬16¬+¬8¬+ 2¬+¬1¬=¬27 (5C8)16 =¬5¬×¬162¬+¬12¬×¬16¬+¬8¬=¬1¬280¬+¬192¬+¬8¬=¬1¬480 Quels que soient les nombres entiers a0, a1, a2, …, an compris entre 0 et p − 1, où p désigne 2, 10 ou 16, on a : (an...a2a1a0)p = an × pn + ... + a2 × p2 + a1× p + a0 Dans le cas où p = 16, on remplace dans l’écriture du membre de gauche, tout ai égal à 10, 11, 12, 13, 14 ou 15 par A, B, C, D, E ou F respectivement. Propriété 1.1 © Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit. 5 1.1 • Numération et conversion Il existe plusieurs méthodes pour convertir un entier vers la base p = 2 ou 16. Nous allons déterminer l’écriture en base 2 du nombre 75 et l’écriture en base 16 du nombre 2014 (méthodes 1 et 2), puis effectuer des conversions directes entre les bases 2 et 16 (méthode 3). Méthode 1 : on effectue la division euclidienne du nombre par la plus grande puissance de p qui lui est inférieure ou égale, puis on recommence avec le reste et ainsi de suite jusqu’à ce qu’il soit nul. 75 = 1 × 26 + 11, 11 = 1 × 23+ 3 et 3 = 1 × 2 + 1 Donc 75 = 1 × 26 + 1 × 23 + 1 × 2 + 1 = 1 × 26 + 0 × uploads/Litterature/ mathematiques-pour-l-x27-informatique-xavier-chanet-amp-patrick-vert.pdf