IUT C de Roubaix DUT STID 1re Année 2011-2012 Corrigé interrogation de probabil

IUT C de Roubaix DUT STID 1re Année 2011-2012 Corrigé interrogation de probabilités semestre 2 Exercice 1 : La longueur des tiges de chrysanthèmes en fleurs coupées intervient dans le classement par catégorie. Pour simplifier, on supposera par la suite que cette longueur sera le seul critère de classement. Un chrysanthème sera classé en catégorie extra si la longueur de sa tige est supérieure ou égale à 80cm. Au 1er décembre, on évalue la production d’une certaine serre à 6000 chrysanthèmes pour le mois. À cette époque les chrysanthèmes classées catégorie extra sont payés au producteur 4e les dix, et les autres 3e les dix seulement. La qualité de la production ayant été étudiée sur un échantillon de 100 tiges coupées de chrysanthèmes, on en conclut que la longueur des tiges coupées est une variable aléatoire qui suit une loi normale de moyenne 92 cm et d’écart type 8 cm. 1. Quelle est la probabilité pour qu’une fleur soit classée en catégorie extra ? (2pts) Soit X la longueur d’une tige X ∼N(92; 8). On calcule la probabilité qu’une chrysanthème soit classée extra c’est-à-dire : P(X ≥80) = 1 −P(X ≤80) = 1 −P X −92 8 ≤80 −92 8  On pose T = X−92 8 , on alors T ∼N(0; 1). On a donc P(X ≥80) = 1 −P(T ≤−1, 5) = 1 −[1 −P(T ≤1, 5)] = P(T ≤1, 5) = 0, 9331928 2. Quelle est l’espérance du nombre de fleurs qui seront classées en catégorie extra sur les 6000 fleurs de la production de décembre ? (2pts) Soit Y le nombre de fleurs classées en catégorie extra, Y ∼B(6000; P(X ≥80) | {z } 0,9331928 ). E(Y ) = 6000 × 0, 9331928 = 2299, 157. Donc en moyenne 5599 seront classées extra. 3. En déduire l’espérance mathématique de la recette pour le total de la production de la serre pendant ce mois. (2pts) Soit Z la recette totale. Recette totale | {z } Z = Nombre de fleur extra | {z } Y × Prix par fleur extra | {z } 4/10 + Nombre de fleur non extra | {z } 6000−Y × Prix par fleur non extra | {z } 3/10 Donc E(Z) = 4 10E(Y ) + 3 10(6000 −E(Y )) = 2359, 926. La recette moyenne est donc de 2360 euros. Exercice 2 : Une urne contient 10 boules ; 3 rouges, 5 noires et 2 vertes. On tire deux boules au hasard et sans remise. Soit X le nombre de noires obtenu et Y le nombre de rouges obtenu : 1. Déterminer la loi du couple (X, Y ). (2pts) On peut dessiner l’abre de probabilité suivant : R 3 10 R 2 9 N 5 9 V 2 9 N 5 10 R 3 9 N 4 9 V 2 9 V 2 10 R 3 9 N 5 9 V 1 9 En complitant les résultats on obtient le tableau sui- vant : X\Y 0 1 2 Total 0 2/90 12/90 6/90 20/90 1 20/90 30/90 0 50/90 2 20/90 0 0 20/90 Total 42/90 42/90 6/90 1 2. Calculer E(X) et E(Y ). Comparer ces espérances et commenter. (2pts) E(X) = 1 × 50 90 + 2 × 20 90 = 1 E(Y ) = 1 × 42 90 + 2 × 6 90 = 0, 6 E(X) > E(Y ) car il y a plus de boules noires que de boules rouges dans l’urne. 3. Calculer V (X) et V (Y ). V (X) = E(X2) −E(X)2 = 0, 444 V (Y ) = E(Y 2) −E(Y )2 = 0, 373 4. Calculer cov(X, Y ) ainsi que ρ(X, Y ) = cov(X,Y ) σ(X)σ(Y ) . E(XY ) = 1 × 1 × 30 90 cov(X, Y ) = E(XY ) −E(X)E(Y ) = −0, 376 ρ(X, Y ) = −0, 927 Exercice 3 : Soit une ville comportant N bus. On observe les bus en notant leur numéro. Partie 1 On a vu 15 bus différents la première journée, et on a vu 25 bus différents la seconde journée. On s’intéresse au nombre bus vu à la fois le premier et le second jour que l’on note X. On peut concevoir les choses de la manière suivante : on a une urne contenant N bus, on tire 15 bus au hasard dans ces n bus et on les « marque ». Notre urne comporte maintenant N bus dont 15 sont « marqués » et N −15 ne le sont pas. Dans cette urne on tire 25 bus et on s’intéresse au nombre de bus marqués (c’est-à-dire à X). 1. Montrer que X ∼H N; 25; 15 N  . (1pt) On tire 25 bus au hasard et sans remise parmi N bus, une fraction de 15 N d’entre eux étant « marquée ». Donc le nombre de bus marqués X, suit bien H N; 25; 15 N  . 2. En déduire E(X). (1pt) E(X) = 25 × 15 N = 375 N 3. Supposons qu’on ait observé 5 bus à la fois le premier et le second jour. En approchant E(X) par la valeur observée, quel est approximativement le nombre de bus dans la ville ? (1pt) E(X) ≃5 ⇒N ≃375 5 = 75 Il y a approximativement 75 bus dans la ville. Partie 2 Supposons maintenant que les bus soient numérotés de 1 à N. Et à chaque fois qu’on voit un bus on note son numéro (si on observe deux fois le même bus, on note 2 fois son numéro). Supposons qu’on ait observé 10 bus. On note Yi le numéro du ie bus avec i ∈{1; . . . ; 10}. On peut concevoir les choses de la façon suivante : on a une urne de N bus numérotées de 1 à N et on tire un bus au hasard dans l’urne, on note son numéro et on le remet dans l’urne, et ainsi de suite. 1. Quelles sont les lois de Y1, . . . , Y10 ? (On pensera à une loi usuelle). Expliquer pourquoi Y1, . . . , Y10 sont indépendants. (1,5pts) Yi ∼U({1; 2; . . . ; N}) : choix au hasard d’un numéro parmi N numéros. Les Yi sont indépendants car les tirages sont supposés avec remise. 2. En déduire E(Yi) et V (Yi) pour i ∈{1; . . . ; 10}. (2pts) E(Yi) = N + 1 2 V (Yi) = N 2 −1 12 3. On note ¯ Y = Y1+Y2+···+Y10 10 . Déduire de la question précédente, E( ¯ Y ) et V ( ¯ Y ). Comparer E( ¯ Y ) à E(Y1) et V ( ¯ Y ) à V (Y1) (1pt) E[ ¯ Y ] = E Y1 + Y2 + · · · + Y10 10  = 1 10(E[Y1] + E[Y2] + · · · + E[Y10]) = 1 10 × 10 × N + 1 2 = N + 1 2 V [ ¯ Y ] = V Y1 + Y2 + · · · + Y10 10  = 1 102 (V [Y1] + V [Y2] + · · · + V [Y10]) = 1 102 × 10 × N 2 −1 12 = N 2 −1 120 On a utilisé V (aX) = a2V (X) et V (X1 + X2) = V (X1) + V (X2) si X1 et X2 sont indépendantes. 4. On a reporté les numéros suivants : 26; 65; 24; 10; 36; 56; 25; 9; 38; 9. En approchant E( ¯ Y ) par la moyenne observée, quelle est approximativement le nombre de bus dans la ville ? (1pt) ¯ y = 25, 8 E[ ¯ Y ] ≃25, 8 ⇒N ≃2 × 25, 8 −1 = 50, 6 Il y a approximativement 50, 6 bus dans la ville. uploads/Litterature/ corrige-ps-pdf.pdf

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littérature nombre extra longueur catégorie hasard
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