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MAGAZINE DE MATHEMATIQUES MAGAZINE DE MATHEMATIQUES Profs : Profs : ÉQUIPE ÉQUI

MAGAZINE DE MATHEMATIQUES MAGAZINE DE MATHEMATIQUES Profs : Profs : ÉQUIPE ÉQUIPE ACADEMIQUE ACADEMIQUE MA MATH THEMA MATI TIQU QUES ( (28 28 juin juin 1875 1875 à à Beauvais Beauvais - - 26 26 juillet juillet 1941 1941 à à Paris Paris) ) est un est un mathématicien mathématicien français. Il est reconnu pour sa théorie français. Il est reconnu pour sa théorie d d' 'intégration intégration publiée initialement dans sa dissertation publiée initialement dans sa dissertation Intégrale, Intégrale, longueur, aire longueur, aire à l à l' 'Université de Nancy Université de Nancy en 1902. Il fut l'un des en 1902. Il fut l'un des grands mathématiciens français de la première moitié grands mathématiciens français de la première moitié du du vingtième siècle. vingtième siècle. ( (allemand, 1826-1866 allemand, 1826-1866) Ce très grand mathématicien, élève de ) Ce très grand mathématicien, élève de Gauss Gauss à à Göttingen Göttingen de de Jacobi Jacobi à Königsberg et de à Königsberg et de Dirichlet Dirichlet à Berlin, à Berlin, fut professeur en la célèbre université de fut professeur en la célèbre université de Göttingen Göttingen, , succédant à succédant à ce dernier en 1859 ce dernier en 1859 ( (Dirichlet Dirichlet avait lui-même succédé à Gauss avait lui-même succédé à Gauss quatre ans plus tôt). Riemann mourut prématurément, atteint de quatre ans plus tôt). Riemann mourut prématurément, atteint de tuberculose à Selesca (lac Majeur, Italie) où il se soignai. tuberculose à Selesca (lac Majeur, Italie) où il se soignai. RESUME DU COURS 1°) Définition Soient f et F deux fonctions définies sur un intervalle I. F est une primitive de f sur I si et seulement si F est dérivable sur I et pour tout réel x de I, F'(x) = f (x). Théorème1 Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I. Théorème 2 Si une fonction f admet une fonction primitive F sur un intervalle I alors f admet une infinité de fonctions primitives sur I et qui sont toutes de la forme F + c où c désigne une constante réelle arbitraire. C’est -à-dire l’ensemble des primitives de f sur l’intervalle I est F + c ; c . Théorème 3 Etant donnés un intervalle I, un réel a de I et un réel b. Toute fonction f continue sur I admet une unique fonction primitive F sur I telle que F(a) = b. 2°) Opérations sur les fonctions primitives Théorème 4 Etant donnés deux fonctions continues f et g sur un intervalle I de et deux réels  et . Si F et G sont respectivement deux fonctions primitives de f et g sur I alors (.F + .G) est une fonction primitive de la fonction (.f + .g) sur I. 3°) Fonctions primitives des fonctions usuelles I est intervalle de Fonction f définie sur I par Fonctions primitives F de f définies sur I par  x a ; (a  ). x ax c ; (c ).  x x 2 1 x x c 2  ; (c ).  n x x ; (n ) n 1 1 x x c n 1    ; (c ). * 2 1 x x 1 x c x   ; (c ). * n x x ; (n \-1) n 1 1 x x c n 1    ; (c ). *+ 1 x x x 2 x c  ; (c ). + x x 2 x x x c 3  ; (c ).  x cos x x sin x+ c ; (c ).  x sin x x cosx  + c ; (c ).  \ k , k 2      2 1 x cos x x tgx c  ; (c ).  \k , k    x 2 1 sin x x cot gx c   ; (c ).  x cos(ax+b) (a * et b ). 1 x sin(ax b) a  + c ; (c ).  x sin(ax+b) ; (a * et b ). 1 x cos(ax b) a   + c ; (c ).  \x  tel que ax+b = k , k 2      x 1+tan2(ax+b) ; (a * et b ). 1 x tan(ax b) c a   ; (c ).  \x  tel que ax+b = k ; k    x (1+cotan2(ax+b)) (a * et b ). 1 x cotan(ax b) c a    ; (c ). 4°) Fonctions primitives des fonctions usuelles I est un intervalle de  tel que : Fonction f Fonctions primitives F de f sur I u et v deux fonctions dérivables sur I. u’+ v ’ u + v + c ; (c ). u une fonction dérivable sur I. au’ ; a réel. au + c ; (c ). u et v deux fonctions dérivables sur I. u’.v + v ’.u (uv) + c ; (c ). u une fonction dérivable sur I et ne s’annulant pas sur I. u’.u n ; n \-1 1 n 1  u n+1 + c ; (c ). u une fonction dérivable et ne s’annulant pas sur I. ' 2 u u 1 u + c ; (c ). u une fonction dérivable et ne s’annulant pas sur I.   ' n u ; n 1 u   n 1 1 (n 1)u    + c ; (c ). u une fonction dérivable et strictement positive sur I. u ' u 2 u c  ; (c ). u une fonction dérivable et positive sur I. u' u 2 u u c 3  ; (c ). u et v deux fonctions dérivables sur I et v ne s’annulant pas sur I. 2 u'.v v'.u v  u v + c ; (c ). u et v deux fonctions telles que vu soit dérivable sur I. ( v ’u ).u’ (v  u) + c ; (c ). Magazine de mathématiques Profs : Équipe académique Mathématiques Section : Toute les sections Thème abordé : PRIMITIVES Durée : 3 h 42 mn Date : 31 - 12 - 2015 Soit f la fonction définie sur   0; par ( ) 1 cos f x x   . 1°) Montrer que f est une bijection de   0; sur 0; 2    . (On notera 1 f la fonction réciproque de f ) 2°) Montrer que 1 f  est dérivable sur 0; 2     et expliciter 1 ( )'( ) f x  . 3°) Soit g la fonction définie sur 2; 2      par 2 2 ( ) 2 g x x   et G la primitive de g sur 2; 2      qui s’annule en zéro. a) Calculer la dérivée de la fonction : ( ) ( ) H x g x g x   . En déduire que g est paire. b) Montrer que pour tout x 0, 2     ; 1 ( ) ( ) G x f x     . En déduire G(1). Déterminer une fonction polynôme P dont la fonction dérivée est : P’(x) x 2 – 5x+6 et dont le maximum relatif est le double du minimum relatif. EXERCICE N°10 : 30' 5points Moyen EXERCICE N°11 : 10' 2points Moyen uploads/Litterature/ pdf-magazine-taki-academy-primitive-finale-compress-pdf.pdf