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H HACHETTE Supérieur excl usi f by 05. 19. 11. kamal by 05. 19. 11. kamal Crédits photographiques Toutes les photographies de cet ouvrage proviennent de la photothèque HACHETTE LIVRE. Composition, mise en page et schémas : Publilog Maquette intérieure : SG Création et Pascal Plottier Maquette de couverture : Alain Vambacas c  HACHETTE LIVRE 2004, 43 quai de Grenelle 75905 Paris Cedex 15 www.hachette-education.com Tous droits de traduction, de reproduction et d’adaptation réservés pour tous pays. Le Code de la propriété intellectuelle n’autorisant, aux termes des articles L.122-4 et L.122-5, d’une part, que les « copies ou reproductions strictement réservées à l’usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective », et, d’autre part, que « les analyses et les courtes citations » dans un but d’exemple et d’illustration, « toute représentation ou reproduction intégrale ou partielle, faite sans le consentement de l’auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est illicite ». Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit, sans autorisation de l’éditeur ou du Centre français de l’exploitation du droit de copie (20, rue des Grands-Augustins, 75006 Paris), constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du Code pénal. I.S.B.N. 978-2-01-181903-1 Avant-propos L’objectif premier de cet ouvrage est la réussite aux concours et aux examens. Pour cela, nous avons tenté de rendre intelligible et attrayante une petite partie des mathématiques : celle du pro- gramme. Dans cette optique, nous souhaitons que ce livre soit un outil de travail efficace et adapté aux besoins des enseignants et des étudiants de tout niveau. Le cours est agrémenté de nombreux Exemples et Applications. Les Exercices aident l’étudiant à tester sa compréhension du cours, lui permettent d’approfondir sa connaissance des notions exposées... et de préparer les oraux des concours. Les Exercices résolus et TD sont plus axés vers les écrits des concours. L’algorithmique et le calcul formel font partie du programme des concours. De nombreux exercices prennent en compte cette exigence ainsi que des TD d’Algorithmique entièrement rédigés. Les auteurs c  Hachette Livre – H Prépa / Math , 2e année, PC/PSI. La photocopie non autorisée est un délit 3 by 05. 19. 11. kamal Sommaire SÉRIES NUMÉRIQUES 5 ESPACES VECTORIELS NORMÉS 35 CONTINUITÉ 63 SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS 92 DÉRIVATION, INTÉGRATION DES FONCTIONS VECTORIELLES 116 LIEN ENTRE DÉRIVATION ET INTÉGRATION 159 FONCTIONS INTÉGRABLES 192 SÉRIES ENTIÈRES 230 SÉRIES DE FOURIER 254 CALCUL DIFFÉRENTIEL 278 TD : INDICATIONS ET RÉPONSES 311 EXERCICES : INDICATIONS ET RÉPONSES 320 INDEX 379 1 Séries numériques Archimède (environ 287-212 av. J.-C.) étudie l’aire délimitée par un arc de parabole et la corde qui le sous-tend. Il introduit alors la série : 1 + 1 4, 1 + 1 4 + 1 16, 1 + 1 4 + 1 16 · · · et détermine sa limite 4 3. Le XVIe siècle apporte un double progrès : un effort de symbolisme mathématique rend les calculs plus aisés et la notion de fonction se dégage de son origine géométrique. Vers 1660, soucieux d’exprimer des fonctions (ainsi ln(1 + x) et (1 + x)a) comme somme de séries, les mathématiciens s’intéressent à l’étude systématique des séries. Toutefois, la définition rigoureuse de la convergence et certains outils ci-dessous exposés n’apparaîtront qu’au début du XIXe siècle, avec Abel, Cauchy et Gauss. Les travaux de Dedekind, Weierstrass et Cantor, à la fin du XIXe siècle, permettront de compléter la théorie. Ce chapitre vous présente, dans le langage mathématique d’aujourd’hui, cette définition et les techniques qui en découlent. De plus, nous verrons que ces outils peuvent éventuellement être mis en œuvre pour déterminer la nature d’une suite donnée, laquelle est alors transformée en une série. O B J E C T I F S Notion de série convergente. Somme et reste d’une série convergente. Comparaison de séries à termes positifs pour en déterminer la nature. Séries de Riemann. Comparaison à une intégrale. Règle de d’Alembert. Écriture décimale d’un réel positif (PSI). Critère de Cauchy des séries (PSI). Critère spécial des séries alternées. Séries absolument convergentes. Produit de Cauchy de séries absolument convergentes. c  Hachette Livre – H Prépa / Math , 2e année, PC/PSI. La photocopie non autorisée est un délit 5 Analyse PC-PSI Dans ce chapitre, l’appellation « série » désignera uniquement des séries à termes réels ou complexes. K est R ou C. 1 Généralités 1.1. Définition d’une série Soit u = (un) une suite d’éléments de K . On pose, pour tout n de N : Sn = n . 0 uk. La suite ainsi définie S = (Sn) est une suite d’éléments de K, appelée série associée à la suite u. On la note . un ou . n un, s’il y a un risque de confusion sur l’indice. L’élément de K : Sn = n . 0 uk est appelé la somme partielle d’indice n de la série . uk. Il arrivera que la suite u ne soit définie qu’à partir d’un cer- tain rang, le plus souvent k = 1 ou k = 2. La série ne sera alors définie qu’à partir de ce rang. En pratique, connaissant (un), la suite (Sn) des sommes partielles de la série . uk est définie par la formule : ∀n Sn = n . 0 uk. Réciproquement, si la suite (Sn) est connue, le terme général un de la série est déterminé par S0 = u0 et : ∀n ∈N∗ un = Sn −Sn−1. La suite u est alors parfaitement déterminée et unique. Exemple : La série de terme général 1 k ! , c’est-à-dire la série . 1 k , est appelée série harmonique. 1.2. Convergence et divergence d’une série La série de terme général uk est dite convergente si la suite (Sn), où Sn = n . k=0 uk, converge dans K. Sinon, elle est dite divergente. Notation Lorsque la série . uk converge, la limite de la suite (Sn) des sommes par- tielles est appelée somme de la série et notée ∞ . n=0 un ou ∞ . 0 un. Il faut bien distinguer la série . uk de la somme, ∞ . 0 un, de la série qui n’est définie que lorsque la série converge. Rapport Mines-Ponts, 2003 « De trop nombreux étudiants confondent la notion de série et la somme d’une telle série quand elle converge. Plus généralement, on déplore un amalgame entre les notations : . un, . n0 un, +∞ . n=0 un et n . k=0 uk. » Deux séries qui diffèrent par un nombre fini de termes sont de même nature, c’est-à-dire sont si- multanément convergentes ou di- vergentes. Théorème 1 Si la série . un converge, son terme général tend vers 0. Démonstration Le terme général de la série est : un = Sn −Sn−1. Une série dont le terme général ne tend pas vers 0 diverge. Elle est dite série grossièrement divergente. Exemple : Une série géométrique est une série associée à une suite géomé- trique. La série . an converge si, et seulement si, |a| < 1. Plus générale- ment, pour |a| < 1, p fixé dans N et c fixé dans C, la série géométrique 6 c  Hachette Livre – H Prépa / Math , 2e année, PC/PSI. La photocopie non autorisée est un délit 1. Séries numériques de terme général  c ak kp converge et a pour somme : ∞ . k=p c ak = c a p 1 −a . Lorsque |a|  1 et c est non nul, la série est grossièrement divergente. Rapport Centrale, 2001 « Il est très courant de manipuler des séries ou des intégrales alors que ce ne sont encore que des sym- boles. » Cauchy, en 1821, écrivait : « J’ai été forcé d’admettre diverses propositions qui paraîtront peut- être un peu dures ; par exemple, qu’une série divergente n’a pas de somme ». La somme d’une série géomé- trique convergente est donc obte- nue par la formule : premier terme 1 −raison Théorème 2 La suite (un) converge si, et seulement si, la série . (un+1 −un) converge. Démonstration Soit u = (un) une suite numérique. La somme partielle Sn de la série , (un+1−un) est : Sn = n , k=0 (uk+1 −uk) = un+1 −u0. La série converge si, et seulement si, la suite u converge.  Pour s’entraîner : ex. 1 à 4. Rapport E4A, 2002 « Quelques erreurs trop souvent rencontrées : si le terme générique de la série tend vers 0 , alors celle- ci converge; u(n) est équivalent à 0 , donc la série converge. » Exemple : Nature de la série . 1 n2 • La suite (Sn) des sommes partielles de la série . 1 n2 est croissante, ainsi que celle, (Tn), de la série . 1 n(n + 1). De plus : ∀n  2 1 n(n + 1)  1 n2  1 n(n −1). On en déduit : Tn −1 2  Sn −1  Tn−1. Les suites (Sn) et (Tn) uploads/Litterature/ livre-h-prepa-analyse-2eme-annee-math-faculte.pdf

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