Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Probabilités et Statistique Y. Velenik — Version préliminaire du 26 octobre 201

Probabilités et Statistique Y. Velenik — Version préliminaire du 26 octobre 2016 — Dernière version téléchargeable à l’adresse http://www.unige.ch/math/folks/velenik/cours.html Table des matières Table des matières 3 0 Introduction 5 0.1 Modélisation des phénomènes aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 I Espaces de probabilité discrets 11 1 Probabilité, indépendance 13 1.1 Mesures de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2 Quelques résultats combinatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3 Probabilité conditionnelle, formule de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.4 Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.5 Expériences répétées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2 Variables aléatoires discrètes 31 2.1 Variables aléatoires discrètes et leurs lois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2 Indépendance de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.3 Vecteurs aléatoires discrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.4 Espérance, variance, covariance et moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3 Marche aléatoire simple sur Z 55 3.1 Description du processus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.2 Quelques propriétés importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.3 Le premier retour au point de départ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.4 La loi de l’arc-sinus pour la dernière visite en 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.5 La loi de l’arc-sinus pour les temps de séjour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4 Fonctions génératrices 65 4.1 Déﬁnition, propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.2 Application aux processus de branchement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.3 Application à la marche aléatoire simple sur Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 4.4 Fonction génératrice conjointe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 II Espaces de probabilité généraux 77 5 Approche axiomatique 79 3 4 TABLE DES MATIÈRES 5.1 Construction d’espaces de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 5.2 Variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 5.3 Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 5.4 Espérance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 5.5 Variables aléatoires à densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 5.6 Processus en temps discret. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 6 Fonctions caractéristiques 109 6.1 Déﬁnition et propriétés élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 6.2 Théorèmes d’inversion et de continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 6.3 Quelques exemples classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 7 Théorèmes limites 117 7.1 Un point technique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 7.2 Quelques outils . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 7.3 Modes de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 7.4 La loi des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 7.5 Le Théorème Central Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 7.6 La loi 0-1 de Kolmogorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 8 Retour aux marches aléatoires 131 8.1 Compléments concernant la marche sur Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 8.2 Marche aléatoire simple sur Zd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 9 Les chaînes de Markov 141 9.1 Déﬁnition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 9.2 Chaînes de Markov absorbantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 9.3 Chaînes de Markov irréductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 10 Modèle de percolation 159 10.1 Déﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 10.2 Transition de phase . . . . . . . . . . . . uploads/Litterature/ probastat-pdf.pdf