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Mathématiques 2 - Mémento Licence Sciences et Professorat des écoles Université

Mathématiques 2 - Mémento Licence Sciences et Professorat des écoles Université de Rennes 1 Jean-Marie Lion Version provisoire du 11 janvier 2021 Tant que les études n’auront pas une méthode encyclopédique de manière à élargir l’horizon au lieu de le restreindre, il se joindra à tous les obstacles de la pauvreté qui entravèrent le vieux maître d’école, les obstacles du préjugé qui fait craindre ce qui ne fait pas partie du coin exploré, comme il arrivait au commandant de la Virginie. Louise Michel, Mémoires (1886) Lien vers le programme en ligne Lien vers le memento en ligne Lien vers le résumé des séances 2020-2021 en ligne Liens vers les feuilles 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 et 12 en ligne Lien vers les solutions de certains exercices Lien vers le sujet du contrôle continu 1 (2019-2020) en ligne Lien vers le sujet du contrôle continu 2 (2019-2020) en ligne Le texte qui suit n’est pas un traité de mathématiques rigoureux qui partirait des axiomes fon- dateurs. Il repose sur des notions sur lesquelles certainement plusieurs des personnes qui le lisent ont quelques connaissances qu’il a pour but de raviver en indiquant également comment ces notions peuvent s’articuler et être utilisées. Table des matières 0 Préliminaire numérique 2 0.1 Les nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0.2 Les opérations sur les nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0.3 Les puissances entières et rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0.4 L’ordre sur les nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1 Éléments de logique et de théorie des ensembles 5 1.1 Logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2 Expressions et calculs littéraux 9 3 Proportionnalité & applications 10 3.1 Proportionnalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.2 Pourcentage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.3 Échelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.4 Vitesse et vitesse moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.5 Unités de mesure et conversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1 4 Fonctions usuelles, mise en équation et résolution de problèmes 14 4.1 Rappels sur les fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 4.2 Équations du 1er et 2e degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 4.3 Inéquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4.4 Systèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4.5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 5 Dénombrement 17 5.1 Règles de maniement des cardinaux des ensembles ﬁnis . . . . . . . . . . . . . . . . 17 5.2 Analyse combinatoire : application, injection, bijection . . . . . . . . . . . . . . . . 18 5.2.1 Application, injection, surjection, bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 5.2.2 Analyse combinatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 6 Probabilités et statistique 20 6.1 Expérience aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 6.2 Probabilités, probabilités discrètes et continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 6.3 Probabilités conditionnelles (formule de Bayes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 6.4 Premiers éléments de statistique descriptive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 6.4.1 Données quantitatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 6.4.2 Données qualitatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 6.4.3 Représentation de séries statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 0 Préliminaire numérique 0.1 Les nombres Tout nombre, qu’il soit naturel, relatif, décimal, rationnel ou réel, admet une écriture en base dix du type ±un...ui...u1,d1...d j... où les ui et les d j sont des chiffres de la base dix et un est non nul sauf peut-être lorsque n = 0. Ainsi le rationnel 22 7 admet comme début d’écriture 3,142857... avec n = 1, u1 = 3, d1 = 1, d2 = 4, d3 = 2, d4 = 8, d5 = 4, d6 = 7,... Le signe + peut être omis mais pas le signe −. Sauf les nombres qui peuvent être écrits avec un nombre ﬁni de décimales (c’est à dire ceux qui sont tels que la suite des d j se termine par une inﬁnité de 0 qu’on omet d’écrire) et qui admettent exactement deux écritures, tout nombre admet une et une seule écriture en base dix : 1 3 admet comme unique écriture en base dix, 0,333333..., alors que 1 admet deux écritures, 1 et 0,999999... Voici cinq grandes classes de nombres, chacune généralisant la classe précédente. L’ensemble N des entiers naturels est formé des nombres de la comptine numérique : 0,1,2,3,...,17, ...,86,...,421,...,512,... L’ensemble Z des entiers relatifs est formé des entiers naturels munis d’un signe + ou −: ...,−314,..., −56,...,−21,...,−3,−2,−1,0,1,2,3,...,17,..., 86,...,421,...,512,... Tout entier natu- rel est un entier relatif : N ⊂Z. L’ensemble D des décimaux est formé des nombres positifs ou négatifs dont l’écriture en base dix est ﬁnie : −3,14 , 0 , 7 ou 1,602173634 × 10−19 en sont des exemples. Tout entier relatif est un décimal : Z ⊂D. Ce sont ceux qui admettent deux écritures dont l’une se termine en répétant 9 une inﬁnité de fois. L’ensemble Q uploads/Litterature/ scipe-2-math-memento.pdf