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EXERCICES SUR LA CONVERGENCE UNIFORME SUITES 1. Calculer la norme inﬁnie des fo

EXERCICES SUR LA CONVERGENCE UNIFORME SUITES 1. Calculer la norme inﬁnie des fonctions f de R dans R déﬁnies ci-dessous et préciser lesquelles sont bornées. a) f(x) = arctanx b) f(x) = x 1 + x2 c) f(x) = sin(x2) d) f(x) = x2 + sin x x2 + 1 e) f(x) = x3 x2 + 1 f) f(x) = 1 −2x2 12 + x4 2. Etudier la convergence simple et uniforme sur R des suites (fn) de fonctions déﬁnies ci-dessous a) fn(x) = x 1 + nx2 b) fn(x) = sin(nx) 1 + n2x2 c) fn(x) = x arctan(nx) 3. Etudier la convergence simple et uniforme sur R de la suite de fonctions (fn)n≥0 déﬁnies par fn(x) = 0 si x ̸= n n3 si x = n . 4. Soit a un nombre réel. Etudier la convergence simple et uniforme sur R+ de la suite (fn)n≥1 de fonctions déﬁnies par fn(x) = naxe−nx . 5. Etudier la convergence simple et uniforme sur [ 0, 1 ] , puis sur [ 0, a ] avec a dans ] 0, 1 [ de la suite (fn)n≥1 de fonctions déﬁnies par fn(x) = n(xn −xn+1) . 6. Etudier la convergence uniforme sur [ 0, +∞[ , puis sur [ a, +∞[ avec a > 0 de la suite (fn)n≥1 de fonctions déﬁnies par fn(x) = sin π + n2x2 1 + n2x . 7. Etudier la convergence uniforme sur [ 0, 2 ] , puis sur [ 0, a ] avec a ∈] 0, 1 [ de la suite (fn)n≥1 de fonctions déﬁnies par fn(x) = sin 2πxn+1 1 + xn . 8. Soit la suite (fn)n≥0 de fonctions déﬁnies sur [ 0, +∞[ par fn(x) = xn + nx x2n + n2x . 1 a) Trouver la limite simple de la suite (fn) sur [ 0, +∞[ . A-t-on convergence uniforme sur cet intervalle ? b) Montrer que pour tout couple (X, Y ) de nombres réels strictement positifs on a X + Y X2 + Y 2 ≤ 2 X + Y . c) Si a > 0, déduire de l’inégalité précédente la convergence uniforme de la suite (fn) sur [ a, +∞[ . 9. Soit la suite (fn)n≥0 de fonctions déﬁnies sur [ −1, 1 ] par fn(x) = x 2n+1 √x . a) Etudier la convergence uniforme de cette suite. b) En déduire la limite de la suite   1 Z −1 fn(t) dt  . 10. Soit la suite (fn)n≥0 de fonctions déﬁnies sur [ 0, 1 ] par f0 = Id [ 0, 1 ] , et si n ≥0 par fn+1 = 1 −1 4 (fn)2 . a) Montrer que la suite (fn) converge simplement vers une fonction constante f que l’on déterminera. b) Montrer que si n ≥0 et si x ∈[ 0, 1 ] , on a |fn(x) −c| ≤1 2n . Qu’en déduit-on ? 11. Soit (un) une suite numérique convergente de limite u, et (vn) une suite de ] 0, ∞[ de limite v > 0. Montrer que la suite (fn) de fonctions déﬁnies sur [ 0, +∞[ par fn(x) = x + un x + vn converge uniformément sur [ 0, +∞[ . 12. Soit (fn) une suite de fonctions continues sur R qui converge uniformément vers la fonction f. a) On suppose que f est majorée. Montrer que la suite (efn) converge uniformément sur R vers ef. b) Donner un contre-exemple si f n’est pas bornée. 13. Soit f une fonction continue sur [ 0, 1 ] telle que f(0) = 0 et (un) une suite de fonctions continues sur [ 0, 1 ] qui vériﬁe les deux propriétés suivantes : i) il existe M > 0, telle que, pour tout x de [ 0, 1 ] , et tout entier n, on ait |un(x)| ≤M, ii) pour tout a dans ] 0, 1 [ , la suite (un) converge uniformément vers 0 sur [ a, 1 ] . 2 Montrer que la suite (fun) converge uniformément vers 0 sur [ 0, 1 ] . 14. Déterminer si les propriétés suivantes sont vraies ou fausses. On donnera une démonstration com- plète dans le premier cas et un contre-exemple dans le deuxième cas. Les fonctions fn (non nécessairement continues) sont déﬁnies sur un intervalle I. a) Si la suite (fn) converge uniformément vers f sur I et si f est bornée sur I, alors chaque fn est bornée sur I. b) Si la suite (fn) converge uniformément vers f sur I et si la suite (gn) converge uniformément vers g sur I, alors (fn + gn) converge uniformément vers f + g sur I. c) Si la suite (fn) converge uniformément vers f sur R et si la suite (gn) converge uniformément vers g sur R, alors (fn gn) converge uniformément vers fg sur R. d) Si la suite (fn) converge uniformément sur [ a, b [ et si la suite numérique (fn(b)) est convergente, alors la suite de fonctions (fn) converge uniformément sur [ a, b ] . e) Si la suite (fn) converge simplement vers f sur R, et si les fonctions fn et f sont continues, alors la convergence de la suite (fn) est uniforme sur R. f) Si fn et gn sont continues sur [ a, b ] , et si (fn) et (gn) convergent uniformément sur I, alors (fn gn) converge uniformément sur [ a, b ] . 15. Soit fn une fonction déﬁnie et continue sur [ a, b ] . Montrer que si la suite (fn) converge uniformé- ment sur [ a, b [ , alors elle converge uniformément sur [ a, b ] . SERIES 16. Montrer que la série de terme général (−1)n n + xn converge uniformément sur [ −1, 1 ] . 17. Montrer que la série de terme général xn n −xn+1 n + 1 converge uniformément sur [ −1, 1 ] . Montrer qu’il y a convergence normale sur [ 0, 1 ] mais pas sur [ −1, 0 ] . 18. Soit I = ] 1, +∞[ . Pour x ∈I, on pose f(x) = ∞ X n=0 1 1 + xn . a) Vériﬁer que f est déﬁnie sur I. b) Montrer que f est continue sur I. c) Montrer que f est de classe C1 sur I. d) Expliquer succintement pourquoi f est C∞sur I. e) Montrer que lim x→1+ f(x) = +∞. 3 19. Montrer que la fonction f déﬁnie par f(x) = ∞ X n=0 1 n! sinn x est continue sur ] 0, π [ . 4 Corrigé 1. Les fonctions données sont toutes continues, donc |f|(R) est un intervalle. Lorsque f possède une parité, on a également ||f || ∞= sup x≥0 |f(x)| , et il suﬃt d’étudier f sur [ 0, +∞[ . a) La fonction f est impaire. Sur [ 0, +∞[ la fonction est strictement croissante et varie de 0 à π/2, donc f est bornée et ||f || ∞= π 2 . b) La fonction f est impaire. Sur [ 0, ∞[ , elle est positive et on a f ′(x) = (1 + x2) −2x2 (1 + x2)2 = 1 −x2 (1 + x2)2 , donc f est bornée et admet un maximum pour x = 1. Alors ||f || ∞= f(1) = 1 2 . c) L’ensemble |f|(R) est inclus dans [ 0, 1 ] , et par ailleurs f( p π/2) = 1, donc f est bornée et ||f || ∞= 1 . d) On a, en utilisant l’inégalité triangulaire et en majorant | sin x| par 1, |f(x)| ≤x2 + | sin x| x2 + 1 ≤x2 + 1 x2 + 1 = 1 , donc |f|(R) est inclus dans [ 0, 1 ] . De plus f(π/2) = 1, donc f est bornée et ||f || ∞= 1 . e) La fonction f est impaire, et quand x tend vers l’inﬁni, f(x) ∼x, donc f(x) tend vers +∞. La fonction f n’est pas bornée et ||f || ∞= +∞. f) La fonction f est paire. On a f ′(x) = (12 + x4)(−4x) −(1 −2x2)4x3 (12 + x4)2 = 4x(x4 −x2 −12) (12 + x4)2 . Le numérateur de f ′(x) se factorise en 4x(x −2)(x + 2)(x2 + 3). Il est positif sur [ 2, +∞[ et négatif sur [ 0, 2 ] , donc f décroit de f(0) = 1/12 à f(2) = −1/4 puis croit de −1/4 à 0. Il en résulte que f est bornée et que ||f || ∞= max(|f(0)|, |f(2)|) = |f(2)| = 1 4 . 2. a) Pour tout entier n ≥0, on a fn(0) = 0 et la suite (fn(0)) converge vers 0. Si x ̸= 0, on a fn(x) ∼1/nx et donc (fn(x)) converge encore vers 0. La suite (fn) converge simplement sur R et sa limite f est la fonction constante nulle. On cherche ||fn −f || ∞= ||fn || ∞. Comme pour l’exercice 1.b) on étudie fn uploads/Litterature/ serires-de-fonction-exercice-corriger 1 .pdf