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Algèbre 1 Semestre d’hiver 2012/2013 Université du Luxembourg Gabor Wiese et Ag

Algèbre 1 Semestre d’hiver 2012/2013 Université du Luxembourg Gabor Wiese et Agnès David gabor.wiese@uni.lu, agnes.david@uni.lu Version du 19 décembre 2012 Préface C’est quoi, l’algèbre ? Dans l’histoire on comprend par l’algèbre l’étude des équations. Au cours des 2000 ans de cette étude, les gens se sont aperçus que certaines structures revenaient très souvent, et en plus dans des contextes tout à fait différents ! Depuis, les algébristes s’occupent aussi de l’étude et du dévelopement de ces structures, ainsi que, évidemment, de leurs applications dans d’autres domaines en sciences, ingénierie et mathématiques. Le cours d’algèbre 1 sera dédié à une introduction aux structures algébriques fondamentales : les groupes, les anneaux, les corps, ainsi qu’aux espaces vectoriels (d’un point de vue plus général que dans le cours d’algèbre linéaire). Ces structures seront illustrées par des exemples et parfois des applications. Les règles et les méthodes les plus importantes concernant les démonstrations mathématiques seront enseignées et pratiquées. En algèbre 2, nous allons approfondir la théorie des anneaux et nous allons traiter quelques complé- ments au cours d’algèbre linéaire. En algèbre 3 le cours culminera en la théorie de Galois qui nous permettra de démontrer la constructibilité ou inconstructibilité à la règle et au compas de certains problèmes de l’antiquité et l’impossibilité de résoudre l’équation générale de degré au moins 5 par radicaux. Littérature Voici quelques références : – Lelong-Ferrand, Arnaudiès. Cours de mathématiques, Tome 1, Algèbre. Dunod. Ce livre est très complet et très détailé. On peut l’utiliser comme ouvrage de référence. – Siegfried Bosch : Algebra (en allemand), Springer-Verlag. Ce livre est très complet et bien lisible. – Serge Lang : Algebra (en anglais), Springer-Verlag. C’est comme une encyclopédie de l’algèbre ; on y trouve beaucoup de sujets rassemblés, écrits de façon concise. 1 1 PREMIERS MOTS DU LANGAGE MATHÉMATIQUE 2 1 Premiers mots du langage mathématique Le langage mathématique est différent du langage du quotidien par – sa précision : tout terme a une déﬁnition précise ; – son formalisme : souvent on utilise des symboles et des formules. L’implication ⇒ Nous introduisons le symbole ⇒pour les implications. Il se lit comme : « implique », « alors », « en conséquence », « donc », « est sufﬁsant pour » etc. (1) S’il pleut, la rue est mouillée. (2) Il sufﬁt qu’il pleuve pour que la rue soit mouillée. (3) Je réussis l’examen. Donc je reçois les points ECTS. (4) Si on a x = 1, alors 2x = 2. (5) Si on a x = 1, alors x2 = 1. Nous formalisons ces phrases maintenant ; nous nous intéressons seulement à la relation entre les deux parties de la phrases (il nous est égal s’il pleut actuellement ou non ; on s’intéresse uniquement aux implications) : (1) Il pleut. ⇒La rue est mouillée. (2) Il pleut. ⇒La rue est mouillée. (3) Je réussis l’examen. ⇒Je reçois mes points ECTS. (4) x = 1 ⇒2x = 2 (5) x = 1 ⇒x2 = 1 Parfois il est utile de formaliser encore un peu plus. On appelle une phrase comme « Il pleut. » ou « x = 2 » une assertion. Une assertion est vraie ou fausse.1 Si A et B sont des assertions, l’implication ⇒est une assertion de la forme A ⇒B, qui signiﬁe : si A est vraie, alors B est vraie. Elle ne dit pas ( ! !) que A est vraie ! L’implication ⇐ Le symbole ⇐a la même signiﬁcation que ⇒, sauf que les côtés sont inversés. (1) La rue est mouillée s’il pleut. (2) Pour que la rue soit mouillée, il sufﬁt qu’il pleuve. (3) Je reçois les points ECTS si je réussis l’examen. (4) On a 2x = 2, si x = 1. (5) On a x2 = 1, si x = 1. 1Il y a des subtilités avec cette phrase que nous n’évoquerons pas car vous ne les rencontrerez dans aucun cours de vos études, sauf si vous suivez un cours de logique mathématique. 1 PREMIERS MOTS DU LANGAGE MATHÉMATIQUE 3 La formalisation est ainsi : (1) La rue est mouillée. ⇐Il pleut. (2) La rue est mouillée. ⇐Il pleut. (3) Je reçois les points ECTS. ⇐Je réussis l’examen. (4) 2x = 2 ⇐x = 1 (5) x2 = 1 ⇐x = 1 Si A et B sont des assertions, l’implication ⇐est une assertion de la forme A ⇐B, qui signiﬁe : si B est vraie, alors A est vraie. Elle ne dit pas ( ! !) que B est vraie ! L’équivalence ⇔ Le symbole ⇔indique l’équivalence ; il se dit « est équivalent à », « si et seulement si », etc. Il est employé si les deux implications ⇒et ⇐sont vraies en même temps. (1) Je reçois les points ECTS si et seulement si je réussis l’examen. (2) On a 2x = 2, si et seulement si x = 1. (On suppose ici que x est un nombre réel.) (3) On a x2 = 1, si et seulement si x = 1 ou x = −1. (On suppose ici que x est un nombre réel.) Discutons d’abord pourquoi il n’y a pas d’exemple avec une rue mouillée : L’assertion : « La rue est mouillée. ⇒Il pleut. » est fausse (car quelqu’un pourrait nettoyer sa voiture) ! Alors, il ne s’agit pas d’une équivalence. Aussi l’assertion : « x2 = 1 ⇔x = 1 » est fausse, car l’assertion « x2 = 1 ⇒x = 1 » est fausse, parce que x = −1 est une autre solution. Voici, la formalisation : (1) Je reçois les points ECTS. ⇔Je réussis l’examen. (2) 2x = 2 ⇔x = 1 (3) x2 = 1 ⇔(x = 1 ou x = −1) Si A et B sont des assertions, l’équivalence ⇔est une assertion de la forme A ⇔B, qui signiﬁe : A est vraie, si et seulement si B est vraie. Faites bien attention lequel des symboles ⇒, ⇐, ⇔utiliser. C’est une grande source d’erreur au début. 1 PREMIERS MOTS DU LANGAGE MATHÉMATIQUE 4 La conjonction « et » (symbole : ∧) « Et » en mathématiques a la même signiﬁcation qu’au quotidien : Si A et B sont des assertions, l’assertion A et B et vraie si et seulement si A et B sont vraies. Introduisons maintenant le formalisme (facile !) des tables de vérité (v= vraie, f = fausse) : A B A et B Explication v v v Si A est vraie et B est vraie, alors (A et B) est vraie. v f f Si A est vraie et B est fausse, alors (A et B) est fausse. f v f Si A est fausse et B est vraie, alors (A et B) est fausse. f f f Si A est fausse et B est fausse, alors (A et B) est fausse. (1) P est étudiant(e) de ce cours et P habite à Luxembourg. (2) x2 = 1 et x > 0 Regardons (2) de plus près. Soit A l’assertion « x2 = 1 » et B l’assertion « x > 0 ». – x = 1 : c’est le cas de la rangée 1 ; alors, l’assertion est vraie. – x = −1 : c’est le cas de la rangée 2 ; alors, l’assertion est fausse. – x ̸= 1 et x > 0 : c’est le cas de la rangée 3 ; alors, l’assertion est fausse. – x ̸= −1 et x ≤0 : c’est le cas de la rangée 4 ; alors, l’assertion est fausse. La disjonction « ou » (symbole : ∨) « Ou » en mathématiques a la signiﬁcation suivante : si A et B sont des assertions, alors l’assertion « A ou B » est vraie si au moins une des assertions A et B est vraie (en particulier, si les deux sont vraies, alors « A ou B » est vraie). Voici, la table de vérité qui exprime ce fait : A B A ou B v v v v f v f v v f f f (1) P est étudiant(e) de ce cours ou P habite à Luxembourg. (2) x2 = 1 ou x > 0 Regardons (2) de plus près. Soit A l’assertion « x2 = 1 » et B l’assertion « x > 0 ». – x = 1 : c’est le cas de la rangée 1 ; alors, l’assertion est vraie. – x = −1 : c’est le cas de la rangée 2 ; alors, l’assertion est vraie. – x ̸= 1 et x > 0 : c’est le cas de la rangée 3 ; alors, l’assertion est vraie. – x ̸= −1 et x ≤0 : c’est le cas de la rangée 4 ; alors, l’assertion est fausse. Notez que « ou » au quotidien est souvent utilisé de manière exclusive : « Voulez vous du café ou du thé ? » ; « Allez-vous à droite ou à gauche ? ». C’est soit l’un, soit l’autre. Pas en maths : Si A et B uploads/Litterature/ algebre-1 1 .pdf