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Analyse de Fourier Eric Aristidi, Universit´ e de Nice Sophia-Antipolis Version

Analyse de Fourier Eric Aristidi, Universit´ e de Nice Sophia-Antipolis Version du 30 aoˆ ut 2016 Table des mati` eres 1 Signaux discontinus — Distribution de Dirac 3 1.1 La fonction de Heaviside H(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 La fonction porte Π(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Distribution de Dirac δ(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3.1 Approche heuristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3.2 Propri´ et´ e fondamentale — D´ eﬁnition de δ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3.3 Quelques propri´ et´ es de δ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.4 D´ eriv´ ees de signaux discontinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4 Peigne de Dirac Ш(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5 Distribution de Dirac bidimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 La convolution 13 2.1 D´ eﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1.1 D´ eﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1.2 Signiﬁcation physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Propri´ et´ es de la convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2.1 La convolution est un produit commutatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2.2 Autres propri´ et´ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.3 Application ` a la r´ esolution d’´ equations diﬀ´ erentielles lin´ eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3.1 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3.2 G´ en´ eralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3.3 Calcul de la r´ eponse impulsionnelle : exemple du ressort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3 Transformation de Fourier 21 3.1 D´ eﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.1.1 D´ eﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.1.2 Transform´ ee de Fourier des fonctions ` a valeurs r´ eelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.1.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.2 Propri´ et´ es de la TF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.2.1 Lin´ earit´ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.2.2 Changement de signe et conjugaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.2.3 Valeur ` a l’origine ˆ f(0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2.4 Changement d’´ echelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2.5 Translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2.6 Multiplication par un terme e2iπν0t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.2.7 Tranform´ ee de Fourier inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2.8 Signiﬁcation physique de la TF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . uploads/Litterature/ analyse-fourier.pdf