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U n i v e r s i t é d ’ A i x - M a r s e i l l e - C e n t r e d e T é l é - E

U n i v e r s i t é d ’ A i x - M a r s e i l l e - C e n t r e d e T é l é - E n s e i g n e m e n t S c i e n c e s Case 35. 3, place Victor Hugo. 13331 Marseille Cedex 03. http://ctes-sciences.univ-amu.fr/ P o u r r a p p r o c h e r l a c o n n a i s s a n c e LICENCE Parcours L2 Mathématiques générales Etape n° Période n° Période 1 Nom de l’ UE Algèbre 1 Responsable d’UE Brigitte Mossé brigitte.mosse@univ-amu.fr U n i v e r s i t é d ’ A i x - M a r s e i l l e - C e n t r e d e T é l é - E n s e i g n e m e n t S c i e n c e s Case 35. 3, place Victor Hugo. 13331 Marseille Cedex 03. http://ctes-sciences.univ-amu.fr/ P o u r r a p p r o c h e r l a c o n n a i s s a n c e Commentaires sur l’envoi 2 première partie : La première partie de cet envoi comporte : . un devoir sur les révisions de l’envoi 1 (comme je vous l’ai indiqué précédemment, il s’agit des trois derniers exercices de l’envoi 1), . une liste de conseils de rédaction - attention au fait que 2 points du barême sur 20 des devoirs à la maison seront consacrés à la qualité de la rédaction, . le cours a « Permutations d’un ensemble fini », avec une série d’exercices . Ce cours est un passage obligé pour aborder les notions de déterminants que nous verrons ensuite. Exercice 8. On note E le R-e.v. R3 et B = (e1, e2, e3) sa base canonique. Soit f l’endomorphisme de E d´ eﬁni par : f(e1) = e1 + 2e3, f(e2) = 4e1 + 3e2 + 9e3, f(e3) = −2e1 −e2 −4e3. a) Ecrire la matrice A de f par rapport ` a B. Calculer A2 et A3. En d´ eduire que A est inversible et calculer A−1. b) Montrer que D = {u ∈E ; f(u) = u} est une droite vectorielle de E. On notera v1 un vecteur non-nul quelconque de D. c) Montrer que P = {(x, y, z) ∈E ; x −2y = 0} est un plan vectoriel. En donner une base (v2, v3). d) Montrer que E = D ⊕P et donner la matrice A′ de f par rapport ` a la base B′ = (v1, v2, v3). e) On pose u1 = e1 + e2 + 2e3, u2 = f(u1) et u3 = f(u2). Montrer que B′′ = (u1, u2, u3) est une base de E et donner la matrice A′′ de f par rapport ` a B′′. Exercice 9. Soient E = R3 et E′ = R4. Soient B = (e1, e2, e3) une base de E et C = (u1, u2, u3, u4) une base de E′. On d´ eﬁnit les familles B′ = (e′ 1, e′ 2, e′ 3) de vecteurs de E et C′ = (u′ 1, u′ 2, u′ 3, u′ 4) de vecteurs de E′ par :    e′ 1 = e1 + e3 e′ 2 = e1 + 2e2 + e3 e′ 3 = −e1 + e2 + e3 ,        u′ 1 = u1 + u2 + u3 + u4 u′ 2 = u1 − u2 + u3 + u4 u′ 3 = u1 + u2 + u3 − u4 u′ 4 = −u1 + u2 + u3 − u4 . a) Montrer que B′ est une base de E et C′ est une base de E′. Expliciter la matrice de passage P de B ` a B′ et la matrice de passage Q de C ` a C′. b) Soit f l’application lin´ eaire de E dans E′ dont la matrice par rapport aux bases B et C est : A = MatBC(f) =     1 1 −1 2 1 1 −1 0 1 1 −1 2    . Calculer la matrice A′ = MatB′C′(f) de f par rapport aux bases B′ et C′. Exercice 10. Soit f l’endomorphisme de C3 dont la matrice par rapport ` a la base canonique B = (e1, e2, e3) est A = MatB(f) =   −2i −2i 1 2(1 + i) 1 + 2i −1 + i 1 + 2i 1 + i −1  . a) En posant u1 = e1−e2, u2 = −ie2+e3 et u3 = e1−e2+ie3, montrer que la famille B′ = (u1, u2, u3) est une base de C3 ; d´ eterminer la matrice de passage P de B ` a B′ et son inverse P −1. b) Calculer la matrice A′ = MatB′(f) de f par rapport ` a la base B′. c) En d´ eduire que f est un automorphisme de C3, et d´ eduire du calcul de (A′)−1 le calcul de A−1. 54 Les maths, ça se REDIGE En mathématiques, du plus petit exercice à la plus complexe des démonstrations, la phase de rédaction a une grande importance : elle est l’occasion de vérifier la justesse et la rigueur de ce qui est énoncé, d’en régler la concision et les détails, voire l’élégance du style, elle augmente la lisibilité. Quelques règles élémentaires devront être appliquées dans ce but (elles sont appliquées dans les bons manuels). - Annoncer les débuts et fins d’exercices, de questions, de démonstrations : Exemples - de débuts possibles : Montrons que x=3. On a x=3 : - de fins possibles : Ainsi x=3. « Ce qu’il fallait démontrer ». …x=3 : cqfd. …x=3. Ce petit carré signifie pour un mathématicien qu’une démonstration est finie. - Au sein d’une phrase, les seuls symboles mathématiques autorisés sont : les signes d’égalité, de non égalité, d’inégalité, d’appartenance et d’inclusion ; on ne mélange pas texte en français et langage mathématique. - On ne commence pas une phrase par un symbole mathématique : Une confusion est possible entre « . » et un signe de multiplication ; de plus, l’emploi d’une majuscule est nécessaire pour signer le début d’une phrase. Ainsi : « on a x=y. f est une fonction croissante. » est à remplacer par « On a x=y. La fonction f est croissante. » - Les maths, ça se ponctue : « Ainsi x=3 y=9 3<9 » est à remplacer par « Ainsi x=3, y=9 et 3<9 . » Enfin pensez aux correcteurs : si vous faites un problème de concours, respectez la numérotation des questions et les notations proposées dans l’énoncé, séparez les questions d’un trait à la règle et encadrez vos résultats ! Pas question d'y intégrer des quantificateurs !!! Aix-Marseille-Université Télé-Enseignement L2 Mathématiques Générales - UE Algèbre 1 1 Envoi 2 - Cours a Chapitre I : Permutations d’un ensemble ﬁni 1.1 Le groupe symétrique Sn On considère un entier naturel n ≥2, et l’ensemble Sn des applications bijectives de {1, . . . , n} dans lui-même, encore appelées permutations de {1, . . . , n}. Nous rappelons qu’une application d’un ensemble ﬁni dans lui-même est bijective si et seulement si elle est injective (resp. surjective). Remarque 1. Dans ce qui précède, on peut remplacer {1, . . . , n} par n’importe quel ensemble à n éléments E = {a1, . . . , an}. Il suﬃt alors d’identiﬁer l’élément ai à son numéro i dans {1, . . . , n} pour ramener l’étude des permutations de E à celle des permutations de {1, . . . , n}. - L’ensemble Sn est muni d’une opération, la composition des applications, notée "◦". Rappelons que si σ et τ sont deux permutations de Sn, l’application σ ◦τ est déﬁnie par σ ◦τ(i) = σ(τ(i)), pour tout élément i de {1, . . . , n}. Comme la composée de deux bijections d’un ensemble E dans lui-même est encore une bijection de E dans E, l’opération ◦associe à deux permutations (disons σ et τ) une permutation (ici σ ◦τ) ; on dit que ◦est une loi de composition interne sur {1, . . . , n}, autrement dit une application de Sn × Sn dans Sn. - La composition des applications ◦est associative. Pour l’ensemble Sn qui nous intéresse, ceci signiﬁe que si σ1, σ2 et σ3 sont trois éléments de Sn, on a σ1 ◦(σ2 ◦σ3) = (σ1 ◦σ2) ◦σ3. Ceci nous permet d’écrire sans parenthèse mais sans ambiguïté σ1 ◦σ2 ◦σ3. - L’application identité sur {1, . . . , n}, notée id{1,...,n}, ou simplement id si n est ﬁxé, est clai- rement bijective. C’est donc un élément de Sn, qui vériﬁe de plus id ◦σ = σ uploads/Litterature/ te-l2mathsge-ne-s-uealge-bre1-envoi2-premie-re-partie.pdf