THEOREME DE DOUBLE INCLUSION SUR LES ENSEMBLES DE MANDELBROT GENERALISES We est

THEOREME DE DOUBLE INCLUSION SUR LES ENSEMBLES DE MANDELBROT GENERALISES We establish a theorem of double inclusion on the generalized Man- delbrot sets that we note Mm (with m ∈R, and m ≥1) exteanding thus the result of F.V Haeseler (m = 2), and one of J.H Hubbard (m = +∞). Introduction : On note D(r) = {z ∈C, /|z| ≤r}, r ∈R+ et Σ la sphère de Riemann C ∪{∞}. Pour tout c ∈C, on note fc l'application z →z2 + c de Σ dans elle-même, et Kc = {z ∈C/f n c (z) ↛∞} (en notant f n l'itérée f ◦f . . . f ◦f). La frontière de Kc est l'ensemble de Julia de fc. G. Julia [1] et P. Fatou [2] on montré que si 0 ∈Kc l'ensemble Kc est connexe, sinon il est homéomorphe à l'ensemble de Cantor. On note M (l'ensemble de Mandelbrot) l'ensemble des c ∈C tels que 0 ∈Kc. A. Douady et J.H Hubbard [3] ont démontré que M était connexe. En utilisant une autre caractéristisation a n d'appliquer le théorème de L. de Branges, (ancienne conjecture de Bieberbach), F.V. Haeseler [4] à montré que : M ⊂D(2) Cependant, c'est la première caractérisation de M que nous allons utiliser, elle est mentionnée par exemple dans l'article de P. Blanchard [5] : M = {c ∈C, /f n c (0) ↛∞lorsque n →∞} A l'aide de cette caractérisation nous allons étendre le résultat de Haese- ler, et ce de façon élémentaire aux ensembles de Mandelbrot généralisés Mm dé nis par : Mm = {c ∈C/zn = F n c,m(0) ↛∞lorsque n → ∞} avec Fc,m l'application z →zm + c(m ∈R et m ≥1) 1 Pour cette dé nition, voir par exemple l'article de Papathomas et Julesz [6]. La dé nition est choisie de façon à généraliser les résultats obtenus sur R. Les théorèmes que nous établissons ne dépendent pas du choix de la dé nition de l'argument de z. Comme l'on a trivialement M1 = D(0), nous étudierons Mm pour m > 1. Le théorème de Hubbard : M∞= D(1) (en topologie de Hausdor [7], sera démontré en corollaire, après la démonstration du théorème de double inclusion. Théorème A : (m > 1) : D(mi/(i−m)(1 −m−i)) ⊂Mm Démonstration : Nous allons utiliser le lemme suivant, qui assurera au théorème son caractère optimal : Lemme : a = mi/(i−m)(1 −m−i) est le plus grand réel qui véri e la pro- priété : (m > 1)(∃x ∈R+/xm −x + a = 0) Démonstration : On voit facilement que a ∈[0, 1[ s'il existe. Or c'est le cas puisque la fonction xm −x est dérivable sur R+, en particulier sur ]0, 1[ elle atteint une valeur extrémale lorsque sa dérivée s'annule. Celle- ci s'annule en mi/(i−m), et comme xm −x < 0 pour x ∈]0, 1[, on a donc a = mi/(i−m)(1 −m−i) Démontrons à présent le lemme suivant, par récurrence : Lemme : (m > 1)  |zi| ≤mi/(i−m)(1 −m)−i →  ∀n ∈N∗: |zn| ≤mi/(i−m) La propriété est vraie à l'ordre i Supposons la propriété vraie à l'ordre k et montrons qu'elle est vraie à l'ordre k + 1. On a donc comme hypothèses : |zi| ≤mi/(i−m)(1 −m−i) et |zk| ≤mi/(i−m). On a : |zk+1| = |zm k + zi| ≤|zk|m + |zi| ≤(mi/(i−m))m + mi/(i−m)(1 −m−i) |zk+1| ≤m−i.mi/(i−m) + mi/(i−m)(1 −m−i) = mi/(i−m) donc vraie. On a donc : (m > 1)  |zi| ≤mi/(i−m)(1 −m)−i → h lim n→∞|zn| ≤mi/(i−m)i Théorème B : (m > 1) : Mn ⊂D(2i/(m−i)) Démonstration : Nous allons d'abord démontrer par récurrence le lemme suivant : Lemme : (m > 1) : (ϵ ∈R∗ +)  |zi| = 2i/(m−i) + ϵ  →  |zn| ≥2i/(m−i) + nαϵ  avec α = ln(2m−1) ln(2) 2 La propriété est vraie à l'ordre 1 Supposons la propriété vraie à l'ordre k et montrer qu'elle est vraie à l'ordre k + 1. On a donc comme hypothèse ϵ ∈R∗ +, |zi| = 2i/(m−i) + ϵ et |zk| ≥2i/(m−i) + kαϵ. On a : |zk+1| = |zm k + zi| ≥|zk|m −|zi| ≥(2i/(m−i) + kαϵ)m −2i/(m−i) −ϵ |zk+1| ≥2.2i/(m−i) + 2mkαϵ −2i/(m−i) −ϵ = 2i/(m−i) + ϵ(2mkα −1) |zk+1| ≥2i/(m−i) + ϵ(k + 1)α donc vraie. (on a bien ∀k ∈N∗, 2mkα −1 ≥(k + 1)α car (k + 2)α ≤2α(k/2 + 1)α ≤ (2m −1)(k + 1)α ≤2m(k + 1)α −1) En faisant tendre n vers l'in ni dans le lemme on obtient : (m > 1) : (ϵ ∈R∗ +),  |zi| = 2i/(m−i) + ϵ  →[|zn| →∞] c'est-à-dire  z ∈C/D(2i/(m−i) →[z ∈C/Mm] et en prenant la contraposée on obtient le théorème. Remarques : pour n ∈2N∗le théorème est optimal car alors −(2i/(m−i) ∈ Mm. En eet (−2i/(m−i)) est un point de Misiurewicz pour Mm. On peut montrer tout aussi facilement que l'on a établit ce théorème, que si un itéré d'un point z ∈C donné, sort du disque mentionné alors le point en question n'appartient pas au Mm correspondant, on obtient ainsi un critère de non-appartenance à Mm. En utilisant ce résultat, on montre que pour m ∈2N∗+ 1, Mm ∩{z ∈C/ |z| = 2i/(m−i) est vide, donc Mm, qui est fermé est à distance non nulle du cercle précédent. Nous retrouvons le résultat de F.V. Haeseler en prenant n = 2. Finalement, on a donc : Théorème AB : (m > 1)D(mi/(i−m)(1 −m−i) ⊂Mm ⊂D(2i/(m−i)) En se plaçant dans la topologie de Hausdor, et en remplaçant n par l'in ni dans le théorème, on obtient le théorème de Hubbard. Ce passage à la limite ne peut s'eectuer dans la topologie euclidienne, en eet, M∞ne peut être dé nit classiquement. Ce phénomène est dû entre autre, à la cyclicité des racines nime de l'unité. Ainis, on a : Il est donc nécessaire d'introduire la topologie de Hausdor pour parler de M∞. Cependant, celle-ci, de par sa dé nition même ne se préoccupe point du 3 caractère singulier du cercle unité. Il serait sans doute intéressant de savoir si l'intersection de ce cercle avec Mm à la puissance du continu pour m ≥2, comme c'est le cas pour l'ensemble de Mandelbrot. N. Lygeros reçu le 14.05.1990. Références : [1] G. Julia : Mémoire sur l'itération des fonctions rationnelles. J. Math. Pures et Appl., 4. 1918, p47-245. [2] P. Fatou : Sur les équations fonctionnelles. Bulletin Soc.Math.Fr., 47, 1919, p161-271 ; et 48, 1920, p33-94 et 208-314. [3] A. Douady, J.H. Hubbard : Iteration des polynômes quadratiques com- plexes. C.R. Acad.Sc.Paris série 1, t.294, 1982, p123-126 [4] F.V. Haeseler. Uber sofortige Attraktiongebiete superattraktiver Zyk- len. Dissertation Universität Bremen, 1985 [5] P. Blanchard. Complex Analytic Dynamics on the Riemann Sphere. Bull. Amer. Math. Soc, 11, 1984 p85-141 [6] T.Papathomas, B. Julesz. Animation with fractals from variations on the mandelbrot set. The Visual Computer, 3, 1987, p23-26. [7] J. Hubbard, L.R. Golberg, R.L. Devaney, Dynamical approximation to the exponential map by polynomials. Mathematical Sciences Research Insti- tute Berkeley California. Technical Report MSRI 10019-86, 1986 Bibliographie H.-O Peitgen, P.H. Richter : The beauty of fractals (images of complex dynamical systems). Springer-Verlag, 1987 H.-O Peitgen, D. Sauper : The science fractal images. Springer-Verlag, 1988 A. Douady : Itérations de polynômes complexes. Courrier du CNRS, suppl. n◦62, Paris, 1985, p25-33. 4 Mm pour m = 3, 4, 5, 6, 17 et 129. Le disque intérieur est blanchi et le cerle extérieur est tracé. L'invariance triviale par rotation d'angle 2π/(m−1) permet pour les images suivantes de ne représenter qu'une partie de Mm. 5 Un agrandissement de la partie qui se répète m−1 fois dans Mm, pour m = 17 puis m = 129 = 27 + 1 (valeurs facilitant les calculs). Seules sont tracées les frontières Mm, du disque intérieur en pointillés et du disque extérieur. (x, y) ∈[0.78; 1.05] × [0; 0.27] (x, y) ∈[0.952; 1.006] × [−0.004; 0.050] 6 Idem pour m = 32769 = 215 + 1 M2.125 avec arg(z) ∈] −π, π] dans l'expression de zm = |z|m.eim arg(z) 7 uploads/Litterature/ theoreme-de-double-inclusion-sur-les-ensembles-de-mandelbrot-generalises.pdf

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