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Corrige cc2 MAT - Ann ?ee universitaire - Math ?ematiques Dur ?ee une heure Aucun document autoris ?e Corrig ?e du Contr ole Continu no - Exercice Les fonctions suivantes sont-elles des formes bilin ?eaires Sont- elles sym ?etriques R ? R ? R C ? C ? C x

MAT - Ann ?ee universitaire - Math ?ematiques Dur ?ee une heure Aucun document autoris ?e Corrig ?e du Contr ole Continu no - Exercice Les fonctions suivantes sont-elles des formes bilin ?eaires Sont- elles sym ?etriques R ? R ? R C ? C ? C x x y y x x y y C C ? C C ? C x y x y ix y ix x f g f x g ?? x dx Corrig ?e de l ? Exercice Voir TD Exercice On consid ere la forme bilin ?eaire suivante R ? R ? R F EBF EB F F F EB F F F F x y F EDF ED F F F ED F F F F x y x y x y x y x y x y Calculer la matrice de dans la base canonique de R donner son rang et calculer son noyau On consid ere la forme bilin ?eaire sym ?etrique suivante R X ? R X ? R P Q P x Q ??x dx ?? D ?eterminer l ? orthogonal pour du sous-espace vectoriel W de R X d ?e ?ni par W Vect X et en donner une base et la dimension Corrig ?e de l ? Exercice On trouve par des calculs directs que la matrice M de dans la base canonique de R est donn ?ee par F EB F F F ED F F M On admet qu ? il s ? agit bien d ? une forme bilin ?eaire On admet qu ? il s ? agit bien d ? une forme bilin ?eaire sym ?etrique CPuisque la troisieme colonne est ?egale a deux fois la premiere le rang de M est inf ?erieur ou ?egala deux Et puisque les deux premiers vecteurs sont lin ?eairement ind ?ependants on en d ?eduit que le rang de M est ?egal a F EB F F deux x Calculons le noyau de M le vecteur X F ED F F F F x appartient au noyau si et seulement si M X x soit F F F F F F F F F EB F F x x x x ce qui aboutit F ED a X x F F Ainsi KerM est de dimension un ce que l ? on savait d ?eja d ? apr F EB F F es ?? F ED F F le th ?eor eme du rang et c ? est la droite vectorielle engendr ?ee par ?? On a par d ?e ?nition W ? P ?? R X P w ??w ?? W Puisque W Vect X on en d ?eduit que P a bX cX appartient a W ? si et seulement si a bx cx ??x dx ?? soit en utilisant le fait que les int ?egrales de mono mes de degr ?e impair sont nulles b Ainsi P a cX et on conclut que W ? Vect X est de dimension deux Exercice