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Corrige du cc2 mastermecaflu 1718

FST- Tanger Département de Physique Corrigé du CC Mécanique des uides-M Master génie énergétique Le janvier Durée h mn Exercice La notation indicielle mn pts En notation indicielle les expressions suivantes sont-elles correctes Indiquer pourquoi dS ??dxi dxi ? ? S kl xij ? ik ?lj ?? ?ij ?kl Réponse aik kk bi ei dai J ? xm ? xi dA m f aij bkj T ii V une seule sommation donc un scalaire F trois indices jamais dans un monôme F f est un scalaire mais le second membre est une matrice tenseur d ? ordre V la di ?érence de deux tenseurs d ? ordre est un tenseur d ? ordre V un vecteur tenseur d ? ordre peut s ? écrire comme produit d ? une matrice par un vecteur V le premier monôme est la trace d ? une matrice qui est un scalaire Exercice La cinématique des uides mn pts On considère le champ de vitesse d ? un écoulement V ? ?y ? ex ?? ?x ??a ? t ? e y avec a et ? sont des constantes non nulles a Calculer l ? accélération ? ? en représentation Lagrangienne b Déterminer l ? équation des trajectoires sous forme paramétrique x x t et y y t en supposant que x x et y y Réponse Notons que l ? écoulement est plan donc V x ? x t ? t ?y et V y ? y t ? t ?? ?x ??a ? t a Par une dérivation temporelle directe de la vitesse on obtient l ? accélération ? ? en représentation Lagrangienne il su ?t de calculer Pr MAKROUM Hassan C ? x ? V ? t x ? V y ?? ? x ??a ? t ?? ? x ?? a ?t ? y ? V ? t y ?? ? V x a ? ?? ? y a ? ? a ?? y b Par une intégration temporelle de la vitesse on obtient les coordonnées de position x t et y t ? ? x t ?y et ? ? y t ?? ?x a ? t On dérive une deuxième fois l ? équation on obtient y ? ? y a ? sa solution est y t A cos ?t a Ensuite on l ? injecte dans on trouve x t A sin ?t at ?? Avec x Asin et y ??a Acos tels que A x y ??a et Arctg x y ?? a Exercice Fluide incompressible mn pts On considère un uide incompressible de masse volumique homogène ? On note U ? et p les champs eulériens caractérisant son mouvement On suppose qu ? il est soumis aux forces extérieures de gravitéf ? ?? ? g ? ez Ecrire les équations de Navier-Stokes en notant ? la viscosité cinématique Dans le cas ? f ?? ? g e ? z calculer la pression p dans le cas hydrostatique U ? ? en supposant que p p