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Cours concis de mathematiques

Cours Concis de Mathématiques Ce travail est mis à disposition selon les termes de la licence Creative Commons Paternité - Pas d ? Utilisation Commerciale - Pas de Modi ?cation non transcrit Pour plus d ? information voir http creativecommons org licenses bync-nd ou écrire à Creative Commons Castro Street Suite Mountain View California USA Pierre Guillot CChapitres Une table des matières détaillée se trouve à la ?n du livre Ensembles Nombres Polynômes Suites Matrices Continuité Déterminants Compacité Dérivées L ? exponentielle Espaces vectoriels Formules de Taylor Applications linéaires C Intégrale de Riemann Fractions rationnelles Diagonalisation Équations di ?érentielles linéaires CChapitre Ensembles ?? Première lecture ?? Ensembles et appartenance Les objets mathématiques peuvent être rangés dans des en- sembles que l ? on écrit avec des accolades Par exemple E et F sont des ensembles On note x ?? X pour signi ?er que x appartient à X et dans le cas contraire on emploie le symbole par exemple on a ?? E et F Un ensemble ne comprend jamais de répétition ? et n ? est pas ordonné ainsi et Il existe bien sûr des ensembles in ?nis comme l ? ensemble N des nombres entiers dont nous reparlerons au chapitre suivant Il y a également un ensemble vide qui ne contient aucun élément on le note ? ou plus rarement Lorsque tous les éléments d ? un ensemble A sont aussi dans l ? ensemble B on dit que A est une partie de B ou qu ? il est inclus dans B et on note A ? B Par exemple ? CLes ensembles sont souvent dessinés comme des bulles et pour représenter l ? inclusion on place ces bulles les unes dans les autres comme ci-dessous Fixant B on peut considérer l ? ensemble P B dont les éléments sont toutes les parties de B ainsi dans le cas o? B on a P B ? On n ? oublie ni la partie vide ni B lui- même En ?n étant donnés deux ensembles A et B on peut former leur produit cartésien noté A ? B dont les éléments sont les paires a b avec a ?? A et b ?? B Lorsque A et B par exemple on a A ? B On notera que pour les paires l ? ordre est important ainsi l ? élément de N ? N est di ?érent de l ? élément Quelques constructions Lorsqu ? on dispose d ? un ensemble E on peut s ? intéresser aux élements de E qui véri ?ent une certaine propriété P Ceuxci forment à nouveau un ensemble que l ? on note ainsi x ?? E P x Parfois le est remplacé par deux points ou par l ? expression complète tels que ? Il y a de nombreuses variantes et il faut s ? habituer à des notations qui changent de temps en temps en général pour éviter les lourdeurs CPar exemple supposons que A ? E Alors le complémentaire