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Chapitre 3- Transformée de Laplace Maîtrise d’Electronique DJEMAL Ridha 21 Chap

Chapitre 3- Transformée de Laplace Maîtrise d’Electronique DJEMAL Ridha 21 Chapitre 3 – Transformée de Laplace 3.1. Définition et propriétés de base La transformée de Laplace est un outil mathématique qui permet de transformer une équation différentielle en une équation algébrique plus simple à manipuler. 3.1.1. Définition Soit f une fonction du temps t. Si f est continue par morceaux pour 0  t et que ) t ( f e lim t t    est finie, alors f(t) admet une transformée de Laplace F(p) définie par :    0 ). ( ) ( dt e t f p F pt  P C et Re(p) >0 On note F(p) = L[f(t)] ou encore f(t) = L-1[F(p)] 3.1.2. Propriétés de base La transformée de Laplace satisfait un certain nombre de propriétés qui se résument comme suit : 3.1.2.1. Linéarité Soient f et g deux fonctions du temps. La linéarité de l’intégration permet d’établir l’égalité suivante : )] ( [ . )] ( [ . )] ( . ) ( . [ t g L t f L t g t f L        3.1.2.2. Différentiation ou dérivation Si L[f(t)]=F(p) alors    0 ). ( ) ( dt e t f p F pt En intégrant par partie F(p), on obtient          0 0 ) ( ' 1 1 [ )] ( [ )] ( dt e t f p pt p t f L pt t f e )] '( [ 1 ) 0 ( 1 )] ( [ t f L p f p t f L   , soit ) 0 ( ) ( )] '( [    f t pLf t f L ou encore ) 0 ( ) ( )] '( (    f p pF t f L De même, on a : ) 0 ( ..... ) 0 ( ' ) 0 ( ) ( ) ( ) 1 ( 2 1 ) (         n n n n n f f p f p p F p t Lf Si les conditions initiales sont telles que f(0)=0, f ‘(0)=0, …., f(n-1)(0)=0 alors L[f(n)(t)]= Pn L[f(t)] Chapitre 3- Transformée de Laplace Maîtrise d’Electronique DJEMAL Ridha 22 Remarque : On constate que dériver par rapport à t dans le domaine temporel revient à multiplier par p dans le domaine fréquentiel, domaine où on utilise la transformer de Laplace. 3.1.2.3. Intégration Soit F(p) = L[f(t)] et du u f t g t ) ( ) ( 0   c'est-à-dire g’(t)=f(t), on a : F(p)=L[g’(t)]=pL[g(t)] – g(0). D’où p ) p ( F ] du ) u ( f t [ L   0 3.1.2.4. Théorème du retard : Translation temporelle Soient F(p) = L[f(t)] et ) ( ) (    t f t g tel que g(t) = 0 pour t < et f(t) =0 pour t <       dt e t f t g L pt ) ( )] ( [ puisque de 0 à : f(t-) = 0 En posant t-=x, il vient :     0 dx e ) x ( f )] t ( g [ ) x ( p  L      0 dx e ) x ( f e )] t ( g [ px p L . D’où ) ( ) ( p F e t Lf p     3.1.2.5. Théorème de la valeur initiale et de la valeur finale Soit L[f(t)]=F(p), on a les deux relations suivantes : ) ( lim ) 0 ( ) ( lim 0 t f f p pF t p        ) ( lim ) 0 ( ) ( lim 0 p pF f t f p t       3.2. Transformée des fonctions usuelles 3.2.1. Transformée de l’impulsion de Dirac On sait que ) t ( lim ) t (     0   avec   1  ) t ( pour t0, . 0  ) t (   si non. On a : p e dt e )] t ( [ L p pt            1 0 Chapitre 3- Transformée de Laplace Maîtrise d’Electronique DJEMAL Ridha 23 Donc : 1 1 0      p e lim )] t ( [ L p     ; D’où L[(t)]=1 3.2.2. Transformée de l’échelon Soit u(t) l’échelon unitaire. On a : p ] p e [ dt e )] t ( u [ L pt pt 1 0 0            Soit : p e ) t t ( u [ L p )] t ( u [ L p t0 0 1      3.2.3. Transformée de la rampe Une rampe de pente unitaire est donnée par x(t)=t.u(t). On remarque que x’(t)=u(t) et par conséquent : L[x’(t)] = L[(u(t)] = pL[x(t)]-x(0). Soit : 2 1 p )] t ( x [ L  3.2.4. Transformée des fonctions sinusoïdales Tout d’abord, on a :             0 0 ] p a e [ ) p a ( dt e )] t ( u . e [ L t ) p a ( at a p )] t ( u . e [ L at    1 Par conséquent : 2 2 1          p j p j p ] e [ L t j 2 2    p p ] t [cos L 2 2     p ] t [sin L 3.2.5. Transformée des fonctions périodiques On suppose que L[m(t)]=M(p). Déterminons S(p) en fonction de M(p) sachant que S(p) = L[s(t), s(t) étant une fonction périodique. Chapitre 3- Transformée de Laplace Maîtrise d’Electronique DJEMAL Ridha 24 s(t) m(t) 0 T 2T 3T t t Figure 3.1 : Transformée de Laplace d’une fonction périodique On      0 k ) kT t ( m ) t ( s , soit        0 0 dt e ) kT t ( m ) p ( S pt k             0 0 0 k pkT k e ) p ( M dt ) kT t ( m ) p ( S pT e ) p ( M ) p ( S   1 3.2.6. Exemple On considère la fonction périodique s(t) définie comme la montre la figure suivante : s(t) m(t) 0 T 2T 3T t t Figure 3.2 : Exemple On p e dt e ) p ( M pt T pt      1 0 D’où ) e ( p ) e ( p e ) p ( S pT pT pT         1 1 1 1 2 Chapitre 3- Transformée de Laplace Maîtrise d’Electronique DJEMAL Ridha 25 3.3. Transformée de Laplace inverse En pratique, on utilise les tables de la Transformée de Laplace pour le calcul de la transformée de Laplace inverse notée L-1. Exemples 1°) Soit ) p ( p ) p ( F   1 1 . En analysant la table de Laplace on obtient : ) t ( u ). e ( ) t ( f t   1 On peut aussi procéder autrement en décomposant F(p) en éléments simples. Soit : ) p ( p p ) b a ( a p b p a ) p ( F        1 1 Par identification, on obtient : a=1 et a+b=0. Soit ) t ( u e ) t ( u ) p ( F t    2°) Cherchons la transformée de Laplace inverse de 2 1 p e ) p ( F p    2 2 2 1 1 p e p p e ) p ( F p p       , doù ) t ( tu ) t ( u ] p e [ L p 1 1 2 1      1 0 f(t) t t.u(t) -(t-1).u(t-1) (t-1).u(t-1) Figure 3.3 : Exemple de transformée d’une fonction uploads/Litterature/ transforme-de-laplace.pdf