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Analyse mathématique 1 Assoc. Prof. DI. Dr. Tech NKIEDIEL Alain AKWIR PhD in In

Analyse mathématique 1 Assoc. Prof. DI. Dr. Tech NKIEDIEL Alain AKWIR PhD in Information and Communication Engineering Post-Doctoral Researcher in applied Mathematics Contenu du cours 1. Fonctions d’une variable réelle : les bases 2. Dérivées 3. Suites numériques 4. Limites et continuité 5. Fonctions puissance, logarithme et exponentielle 6. Étude locale et globale des fonctions d’une variable réelle Limites et continuité Vous vendez le même produit qu’un concurrent situé dans la même rue, mais votre prix est inférieur. Que devient votre chiffre d’affaires si votre prix se rapproche de plus en plus de celui du concurrent ? La notion mathématique de limite permet de formaliser cette question du comportement d’une fonction quand la variable tend vers une valeur donnée. Si votre revenu augmente, votre impôt sera plus élevé, mais cette augmentation de l’impôt sera-t-elle régulière, ou bien y aura-t-il de brusques sauts ? Une fonction qui varie sans faire de saut est appelée fonction continue. On peut tracer son graphe sans lever le crayon. Les fonctions continues ont des propriétés mathématiques remarquables que nous allons étudier ici. Limites et continuité Limite en un point Limite en Fonction continue en un point Continuité à gauche, continuité à droite Fonction continue sur un intervalle LES GRANDS AUTEURS Augustin Louis Cauchy (1789-1857) Limite en un point : Limite finie en un point Considérons un intervalle ouvert de , et un point , avec . On suppose que est définie sur , sauf éventuellement en . Définitions On dit que a pour limite le nombre réel quand x tend vers si et seulement si : «devient aussi proche que l’on veut de , pour tout x suffisamment proche de (avec ) ». On note alors Formulation mathématique On a si et seulement si: ∀ et Ex: ; et Limite en un point : Limite finie en un point Propositions 1. Opérations sur les limites Si et , alors • si • Limite en un point : Limite finie en un point Propositions 2. Unicité de la limite Si une fonction a une limite quand tend vers , alors cette limite est unique. 3. Limite d’une fonction composée Considérons deux fonctions et de dans et deux réels et . On suppose que la fonction est définie au moins sur un intervalle ouvert contenant (sauf peut-être en ), et sur un intervalle ouvert contenant (sauf peut-être en ). Si a pour limite en , et que a pour limite en , alors la fonction composée a pour limite en . Limite en un point : Limite infinie en un point Définition Limite en un point On dit que a pour limite quand tend vers si et seulement si « devient aussi grande que l’on veut, pour tout suffisamment proche de (avec ) ». Formulation mathématique On a si et seulement si: ∀ et c’est-à-dire, pour tout A même très grand, si on se rapproche suffisamment de (c.-à-d. pour petit), on a . Limite en un point : Limite infinie en un point Définition Branche infinie On dit que le graphe de la fonction a une branche infinie si, lorsque parcourt la courbe , ce point finit par s’éloigner indéfiniment. Asymptote Si, lorsque parcourt une branche infinie de , ce point s’approche de plus en plus d’une droite fixée, on dit que cette droite est asymptote à la courbe. Interprétation graphique Si alors la droite verticale d’équation est asymptote à la courbe Ex: Limite en un point : Limite infinie en un point Définition Limite en un point On dit que a pour limite quand tend vers si et seulement si quand se rapproche suffisamment de (avec ), alors va être aussi bas que l’on veut (cad dans les nombres négatifs)». On note Formulation mathématique On a si et seulement si: ∀ et c’est-à-dire, pour tout B même très négatif, si on se rapproche suffisamment de (c.-à-d. pour petit), on a . Ex:; Limite en un point : Limite infinie en un point Limite en un point : Limite à gauche, limite à droite Définition Limite finie à gauche On suppose que est définie au moins sur un intervalle ou . On dit que a pour limite à gauche le nombre réel quand tend vers si et seulement si : « devient aussi proche que l’on veut de , pour tout suffisamment proche de (avec ) ». On note: Formulation mathématique On a si et seulement si: ∀ Limite en un point : Limite à gauche, limite à droite Définition Limite finie à droite On suppose que est définie au moins sur un intervalle ou . On dit que a pour limite à droite le nombre réel quand tend vers si et seulement si : « devient aussi proche que l’on veut de , pour tout suffisamment proche de (avec ) ». On note: Formulation mathématique On a si et seulement si: ∀ Limite en un point : Limite à gauche, limite à droite Proposition Une fonction a une limite quand tend vers si et seulement si a une limite à gauche et une limite à droite et qu’elles sont égales. Ex: Soit définie sur telle que: Limite en un point : Limite à gauche, limite à droite Définition Limite à gauche On dit que a pour limite à gauche quand tend vers si et seulement si : « devient aussi grand que l’on veut, pour tout suffisamment proche de , avec » Formulation mathématique On a si et seulement si: ∀ c’est-à-dire pour tout même très grand, si on se rapproche suffisamment de en restant inférieur à , on a Ex: Limite en un point : Limite à gauche, limite à droite Limite en un point : Limite à gauche, limite à droite Limite en un point : Dérivée a gauche, Dérivée à droite Définition Si le taux d’accroissement de en a une limite finie à gauche en , on dit que admet une dérivée à gauche en . On la note : Et a droite Interprétation graphique Si a une dérivée à gauche en , alors la courbe admet une demi-tangente à gauche au point . Pour une dérivée à droite, il s’agit d’une demi- tangente à droite. Limite en un point : Règle d’Hospital Proposition 1) Si et sont dérivables sur un intervalle ouvert contenant , avec , alors 2) Supposons que et sont définies et dérivables sur un intervalle ouvert contenant , sauf éventuellement en , avec , Si pour , et si alors , que soit fini ou infini. Limite en Définition Limite finie On dit que est définie pour tout assez grand, cad qu’il existe un nombre tel que est définie pour tout . On dit que a pour limite le nombre réel quand tend vers si et seulement si « se rapproche d’aussi près que l’on veut de , pour tout suffisamment grand ». Formulation mathématique On a si et seulement si: ∀ c’est-à-dire, pour tout même très petit, si est suffisamment grand, alors on a Limite en Définition Limite finie en On suppose que est définie pour tout assez grand, cad qu’il existe un nombre tel que est définie pour tout . On dit que a pour limite quand tend vers si et seulement si « est aussi grand que l’on veut, pour tout suffisamment grand ». Formulation mathématique On a si et seulement si: ∀ c’est-à-dire, pour tout même très grand, si est suffisamment grand, alors on a . Limite en Définition On peut définir de façons similaires les notions de: Limite finie en Limite finie en Limite finie en Théorème des gendarmes On suppose que , et sont trois fonctions telles que, pour tout , on a . Supposons de plus que alors Limite en Interprétation graphique, asymptotes • Si ou alors la courbe a une asymptote horizontale d’équation • Si alors la courbe a une asymptote oblique d’équation Limite en Limites de polynômes et de fonctions rationnelles Il est facile de déterminer la limite en des polynômes et des fractions rationnelles, comme le montrent les deux propositions suivantes. Proposition 1. La limite en d’un polynôme est égale à la limite de son terme de plus haut degré. 2. La limite en d’une fonction rationnelle est égale à la limite du quotient des termes de plus hauts degrés. Ex: Calculer la limite à du polynôme Calculer la limite à de la fonction Fonction continue en un point Définition Continuité en un point On dit que est continue en si et seulement si Prolongement par continuité Il arrive souvent qu’une fonction soit définie a priori sur un intervalle de , sauf en un point , mais qu’elle admette une limite finie l en ce point. Dans ce cas on a tendance à poser pour que soit définie aussi en . La fonction a ainsi été « prolongée » en , puisque son domaine de définition est maintenant l’intervalle I tout entier. Cette fonction vérifie, donc elle est continue en . On dit que l’on a prolongé par continuité en . Ex: Fonction continue en un point Opération sur uploads/Litterature/ chap-4-limites-et-continuites.pdf