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UNIVERSITÉ DU QUÉBEC À MONTRÉAL RECHERCHES LOGIQUES ET PHILOSOPHIQUES SUR LE CO

UNIVERSITÉ DU QUÉBEC À MONTRÉAL RECHERCHES LOGIQUES ET PHILOSOPHIQUES SUR LE CONCEPT DE MÉTALANGAGE MÉMOIRE PRÉSENTÉ COMME EXIGENCE PARTIELLE DE LA MAÎTRISE EN PHILOSOPHIE PAR NEIL KENNEDY AOÛT 2006 UNIVERSITÉ DU QUÉBEC À MONTRÉAL Service des bibliothèques Avertissement La diffusion de ce mémoire se fait dans le respect des droits de son auteur, qui a signé le formulaire Autorisation de reproduire et de diffuser un travail de recherche de cycles supérieurs (SDU-522 - Rév.01-2006). Cette autorisation stipule que "conformément à l'article 11 du Règlement no 8 des études de cycles supérieurs, [l'auteur] concède à l'Université du Québec à Montréal une licence non exclusive d'utilisation et de publication de la totalité ou d'une partie importante de [son] travail de recherche pour des fins pédagogiques et non commerciales. Plus précisément, [l'auteur] autorise l'Université du Québec à Montréal à reproduire, diffuser, prêter, distribuer ou vendre des copies de [son] travail de recherche à des fins non commerciales sur quelque support que ce soit, y compris l'Internet. Cette licence et cette autorisation n'entraînent pas une renonciation de [la] part [de l'auteur] à [ses] droits moraux ni à [ses] droits de propriété intellectuelle. Sauf entente contraire, [l'auteur] conserve la liberté de diffuser et de commercialiser ou non ce travail dont [il] possède un exemplaire.» REMERCIEMENTS Si l'on en croit la page titre de cet ouvrage, son aboutissement est l'affaire d'une seule personne, en l'occurrence moi, Neil Kennedy. Mais je dois admettre, en toute humilité, que cette page biaise l'attribution du mérite en ma faveur, et il convient en cette seconde page de redistribuer les honneurs aux autres acteurs méritants ayant participé à la réalisation du projet. D'abord, puisqu'il faut bien se nourrir, se loger et se vêtir lorsque nous étudions, je tiens à remercier le Fonds québécois de la recherche sur la société et la culture (FQRSC) pour son soutien financier tout au long de ma maîtrise. Je tiens à remercier, par ailleurs, Alain Voizard et Serge Robert pour leur révision minutieuse des versions préliminaires de ce mémoire et pour les commentaires constructifs qui en ont résulté. Mille mercis à mon directeur Mathieu Marion pour m'avoir orienté, conseillé et encadré dans toutes les sphères relatives à ma formation académique. Reconnaissance infinie à mes parents, lesquels ont toujours su m'encourager dans la poursuite interminable de mes études. Merci à Anouk, pour son soutien, particulièrement dans les moments difficiles. Merci à vous tous et à tous ceux que j'oublie. Comme disait le King: «Thank yuh, thank yuh very much ». TABLES DES MATIÈRES INTRODUCTION , , , 1 CHAPITRE 1: Frege et l'émergence de la logique mathématique 12 O. Introduction 12 1. Le projet de l'idéographie 13 2. Le formalisme 22 3. L'universalité de la Begriffsschrift 25 4. Le métalangage et la Begriffsschrift 31 CHAPITRE II: Bertrand Russell et les Principia Mathematica 43 O. Introduction , 43 1. L'émergence de la philosophie analytique 44 2. Le cercle vicieux et la théorie des types 47 3. La calvitie de l'actuel roi de France 54 4. Le système 56 5. L'assertion et la vérité , 60 6. Les Principia et le métalangage 67 7. Épilogue 73 CHAPITRE III: Wittgenstein sur l'indicibilité dans le Tractatus 75 O. Introduction 75 1. Le Tractatus Logico-Philosophicus 76 1.1. L'ontologie 76 1.2. La représentation 77 1.3. La pensée et la proposition 79 1.4. Le langage 82 1.5. Les relations entre propositions 86 1.6. Suite et fin 89 2. L'universalité du Tractatus 91 III 3. Le métalangage 94 4. Épilogue carnapien 96 CHAPITRE IV: La métamathématique hilbe11ienne 98 O. Introduction 98 1. Le deuxième problème de Hilbert 99 2. Le finitisme 101 3. La métamathématique 105 4. Une première preuve de cohérence 108 5. Le calcul epsilon 111 6. Le programme de Hilbe11 et le métalangage 115 CHAPITRE V : L'analyse métamathématique de Godel .., 117 O. Introduction 117 1. Un avant goût 118 2. La métamathématique godelienne 121 2.1. Le langage P 121 2.2. La numérisation de Godel 123 2.3. Les fonctions récursives 124 2.4. L'arithmétisation de la métathéorie 128 2.5. Les théorèmes de Godel 133 3. L'incomplétude de l'incomplétude 139 3.1. Le métalangage de Godet. 140 3.2. La première preuve reconsidérée 144 3.3. La deuxième preuve reconsidérée 146 4. Exposition moderne des théorèmes de Godel 153 4.1. Le langage du premier ordre sous examen 154 4.2. Les fonctions et relations récursives 157 4.3. L'arithmétisation de la métamathématique 159 4.4. Le premier théorème d'incomplétude 161 4.4. Le deuxième théorème de Godel... 164 IV 5. La postérité de l'incomplétude 166 CHAPITRE VI : Le concept de métalangage de Tarski 170 O. Introduction 1.70 1. La vérité comme prédicat pour les langages formels 171 2. Le métalangage tarskien 175 2.1. Le calcul des classes 176 2.2. Le métalangage du calcul des classes 177 3. Le concept de vérité 182 4. Vérité vs prouvabilité 186 5. Exposition moderne du concept de vérité 191 6. Tarski et la philosophie 194 CONCLUSION 198 La condition métathéorique 198 Une application: l'incomplétude revue 203 Vers l'infini et plus loin encore 208 BIBLIOGRPAHIE 210 " " RESUME Ce mémoire a pour objectif principal l'analyse du concept de métalangage tel qu'il s'est développé en logique mathématique. L'introduction et la conclusion mises à part, chaque chapitre porte sur un auteur - logicien, mathématicien ou philosophe ayant contribué de manière significative à l'évolution de ce concept. Ces auteurs sont, en ordre de présentation, Gottlob Frege, Bertrand Russell, Ludwig Wittgenstein, David Hilbert, Kurt Godel et Alfed Tarski. Puisque la notion de métalangage s'est développée avec la formalisation progressive de la logique, une attention particulière est accordée à l'émergence des systèmes formels et à leur présentation. Trois périodes se dessinent dans la genèse de cette notion. Une première, que j'appelle « pré météthéorique », où l'intervention d'une théorie externe au langage formel est rejetée catégoriquement, mais où certaines notions métathéoriques sont implicitement tracées. Une seconde, dite « hilbertienne », qui marque l'entrée en jeu de la métamathématique et qui consacre le métalangage dans l'étude des mathématiques, quoiqu'avec des moyens limités. Et une troisième, dite « tarskienne », où la notion moderne de métalangage est exposée. Par ailleurs, j'effectue une analyse détaillée de la preuve que Godel donne de son second théorème d'incomplétude où je prétends qu'il commet une erreur conceptuelle entre langage et métalangage. Enfin, en conclusion, j'explore une conception fondationnelle de la logique compatible avec l'étude métathéorique. Mots clés: métalangage, logique, philosophie, métamathématique, Godel, Tarski INTRODUCTION Historiquement, l'évolution du concept de métalangage en logique mathématique couvre une période qui s'étale sur plusieurs décennies, allant de la fin du dix-neuvième siècle jusqu'à la fin des années trente. Parmi les logiciens, mathématiciens et philosophes qui ont contribué de manière significative à la genèse de ce concept, nous retrouvons Frege, Russell, Wittgenstein, Hilbert, Godel et Tarski. Chacun d'eux, avec la philosophie mathématique qu'ils incarnent, feront l'objet d'un chapitre détaillé dans le cadre de cet ouvrage. 1ci, comme ailleurs en philosophie de la logique, l'œuvre de Gottlob Frege s'est avéré incontournable. Il faut mentionner d'emblée que Frege, comme tous les logicistes, n'a pas de métalangage annoncé. Toute son œuvre consiste à construire un langage qui est conceptuellement autonome et en ce sens, faire appel à un métalangage marquerait l'échec de cette autonomie. D'un autre côté, l'introduction d'un nouveau langage se fait forcément à l'aide d'un autre langage, qui nous est familier, sans quoi nous n'arriverions pas à comprendre la signification des nouveaux termes introduits. Le langage de présentation, comme il se nomme dans l'œuvre de Frege, n'est pas censé être une structure permanente; il est conçu comme un outil pédagogique de transition, voué à disparaître en fin de parcours une fois que nous 2 INTRODUCTION aurons maîtrisé le nouveau langage formalisé. Toutefois, dans le rapport conceptuel qu'il y a entre le langage de présentation et le langage formalisé, il se trace de nombreuses distinctions qui seront l'apanage de la relation entre métalangage et langage objet, et c'est pour cette raison que Frege est sans conteste un point de départ pour une analyse du concept de métalangage. La première et la plus importante distinction métathéorique établie par Frege est sans doute celle entre l'usage et la mention d'un signe, qui est effectuée en pratique au moyen de guillemets. Ce stratagème donne à Frege un moyen d'expression puissant qui lui permet d'adopter, au besoin, une posture métathéorique à l'endroit du langage qu'il introduit. Ce besoin est particulièrement manifeste lorsqu'il est question d'associer une référence aux éléments du langage, une tâche qui exige absolument qu'on puisse considérer les expressions du langage sur le plan de la mention et non pas de l'usage. Lorsqu'on dit que t dénote la toilette des hommes, « t» est un symbole et non pas la toilette elle-même.! Bien qu'il ait formulé l'ensemble des règles syntaxiques nécessaires à la manipulation des propositions, Frege tient néanmoins à fixer rigoureusement la dénotation (en termes de valeurs de vérité) de chacune d'entre elles d'une manière qui est non sans rappeler la définition tarskienne de la vérité. 2 Par exemple, selon les stipulations sémantiques de la Begriffsschrift, la proposition A:::::J B dénote uploads/Litterature/ universite-du-quebec-montreal 1 .pdf