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, MATHEMATIQUES à l'Université Co~rs et exercices corrigés Eq u a t io n s a u x D é r iv é e s pa r t ie l l e s ET LEURS Appr o x im a t io n s Brigitte LUCQUIN Maître de conférences à l’Université Pierre et Marie Curie (Paris VI) Dans la même collection Mathématiques à l'Université ► L'algèbre discrète de la transformée de Fourier, G. Peyré, 336 pages, 2004. ► Algèbre et théorie des nombres - cryptographie, primalité, vol 7, S. Al Fakir, 288 pages, 2003. ► Algèbre linéaire, F. Bories-Longuet, 160 pages, 2000. ► Algèbre linéaire numérique - cours et exercices, G. Allaire et S. M. Kaber, 240 pages, 2002. ► Analyse complexe et distributions, A. Yger, 400 pages, 2001. ► Calcul différentiel, G. Christol, A. Cot, Ch.-M. Marie, 224 pages, 1997. ► Cours d'algèbre, R. Elkik, 192 pages, 2002. ► Cours de calcul formel - algorithmes fondamentaux, Ph. Saux Picart, 192 pages, 1999. ► Cours de calcul formel - corps finis, systèmes polynomiaux, applications, Ph. Saux Picart et E. Rannou, 224 pages, 2002. ► Distributions - espaces de Sobolev, applications, M.-Th. Lacroix-Sonrier, 160 pages, 1999. ► Éléments d'analyse convexe et variationnelle, D. Azé, 240 pages, 1997. ► Éléments d’ intégration et d’ analyse fonctionnelle, A. El Kacimi Alaoui, 256 pages, 1999. ► Équations aux dérivées partielles et leurs approximations, B. Lucquin, 240 pages, 2004. ► Géométrie différentielle avec 80 figures, C. Doss-Bachelet, J.-P. Françoise et Cl. Piquet, 208 pages, 2000. ► Les Groupes finis et leurs représentations, G. Rauch, 192 pages, 2000. ► Intégration et théorie de la mesure - une approche géométrique, P. Krée, 240 pages, 1997. ► Une introduction à la géométrie projective, D. Lehmann, 128 pages, 2003. ► Introduction à Scilab - exercices pratiques corrigés d'algèbre linéaire, G. Allaire et S. M. Kaber, 240 pages, 2002. ► Logique, ensemble, catégories - le point de vue constructif, P. Ageron, 128 pages, 2000. ► Méthodes d'approximation, équations différentielles, applications Scilab, S. Guerre- Delabrière et M. Postel, 224 pages, 2004. ► Précis d'analyse réelle - topologie, calcul différentiel, méthodes d'approximation, vol. I, V. Komornik, 208 pages, 2001. ► Précis d'analyse réelle - analyse fonctionnelle, intégrale de Lebesgue, espaces fonctionnels, vol. 2, V. Komornik, 256 pages, 2002. ► Quelques aspects des mathématiques actuelles, ouvrage collectif, 256 pages, 1999. ► Systèmes dynamiques - une introduction, Ch.-M. Marie, 256 pages, 2003. ► Théorie de Galois, I. Gozard, 224 pages, 1997. ► Topologie, G. Christol, A. Cot et Ch.-M. Marie, 192 pages, 1997. ISBN 2-7298-1866-9 © Ellipses Édition Marketing S.A., 2004 32, rue Bargue 75740 Paris cedex 15 Le Code de la propriété intellectuelle n’autorisant, aux termes de l’article L. 122-5.2° et 3°a), d’une part, que les « copies ou reproductions strictement réservées à l’usage privé du copiste et non desti nées à une utilisation collective », et d'autre part, que les analyses et les courtes citations dans un but d’exemple et d’illustration, « toute représentation ou reproduction intégrale ou partielle faite sans le consentement de l’auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause est illicite » (Art. L. 122-4). Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit constituerait une contrefaçon sanctionnée par les articles L. 33S-2 et suivants du Code de la propriété intellectuelle. www.editions-ellipses.fr Présentation de la Collection Mathématiques à l’Université Depuis 1997, cette collection (alors appelée “Mathématiques pour le deuxième cycle”) se propose de mettre à la disposition des étudiants de troisième, quatrième et cinquième années d’études supérieures en mathématiques des ouvrages couvrant l’essentiel des programmes actuels des universités françaises. Certains de ces ouvrages pourront être utiles aussi aux étudiants qui préparent le CAPES ou l’Agrégation, ainsi qu’aux élèves des Grandes Écoles et aux ingénieurs désirant actualiser leurs connaissances. Nous avons voulu rendre ces livres accessibles à tous : les sujets traités sont présentés de manière simple et progressive, tout en respectant scrupuleusement la rigueur mathématique. Chaque volume comporte un exposé du cours avec des démonstrations détaillées de tous les résultats essentiels, des énoncés d’exercices et leurs solutions. L’étude mathématique de nombreux problèmes rencontrés dans divers domaines de la Science (Physique, Chimie, Biologie, Sciences de l’Univers,...), ainsi que dans diverses techniques (aéronautique et astronautique, construction automobile, génie chimique, exploitation des nappes aquifères et des gisements d’hydrocarbures, génie civil, ...) utilise de manière essentielle la théorie des équations aux dérivées partielles. L’ouvrage de Madame Brigitte Lucquin donne de cette théorie une présentation particulièrement claire, comportant le rappel de toutes les notions indispensables de Topologie, de Calcul différentiel et d’Analyse. Cet ouvrage présente aussi les méthodes les plus importantes (éléments finis et différences finies) utilisées pour la résolution numérique approchée de ces équations, et montre, sur des exemples précis, comment les mettre en œuvre. Nous sommes heureux de l’accueillir dans notre collection, et certains qu’il rendra de grands services, tant aux étudiants qu’aux praticiens de la modélisation mathématique. Charles-Michel Marie Philippe Pilibossian Avant-propos Ce livre est consacré à l’étude théorique et numérique de certaines équations aux déri vées partielles. Celles-ci interviennent dans de très nombreux domaines appliqués, voire industriels, principalement en ingénierie, en mécanique et en physique (aéronautique, nu cléaire, industrie pétrolière, automobile,...), mais aussi en finance, en économie, en chi mie, en biologie, en médecine .... A une époque où les simulations numériques tendent progressivement à remplacer l’expérience, il paraît donc essentiel de bien comprendre les propriétés de ces équations, ainsi que celles des schémas d’approximation utilisés pour les résoudre numériquement. Dans cet esprit, l’accent a été volontairement porté sur les nombreux exemples d’ap plication et sur les aspects variés de discrétisation (voire parfois d’algorithmique et de programmation, sans entrer dans les détails, qui font l’objet d’un précédent ouvrage [21]). Egalement, certains résultats théoriques utilisés sont démontrés sur des exemples ; d’autres sont cités avec des références précises permettant d’en retrouver la démonstration. Le contenu de cet ouvrage est celui d’un cours de quatrième année actuellement enseigné à l’université Pierre et Marie Curie. Mais ce livre s’adresse aussi aux élèves de troisième année d’écoles d’ingénieurs et aux étudiants de DESS de mathématiques appliquées. Il est nécessaire pour l’aborder d’avoir de bonnes connaissances d’analyse de niveau licence (espaces de Lebesgue, espaces vectoriels normés, analyse hilbertienne) et aussi quelques connaissances d’analyse numérique matricielle (bien que les résultats principaux néces saires soient rappelés). Cet ouvrage est divisé en quatre parties. La première est une introduction dans laquelle sont présentés différents exemples de problèmes modèles linéaires étudiés par la suite : problèmes aux limites elliptiques (opérateur de Laplace, bilaplacien), problèmes parabo liques (du type équation de la chaleur), problèmes hyperboliques (équation des ondes, équation de transport). La «boîte à outils» nécessaire à l’étude théorique de ces modèles est mise en place (distributions, espaces de Sobolev, traces, formules de Green). La deuxième partie est consacrée à l’étude théorique des problèmes aux limites ellip tiques, via une formulation variationnelle et l’utilisation du théorème de Lax-Milgram. Un chapitre entier est consacré à divers exemples d’application de ce théorème, pour des problèmes avec des conditions aux limites variées, ou des opérateurs elliptiques très gé néraux, non nécessairement symétriques. Vient ensuite, dans la troisième partie, l’approximation de ces problèmes par la méthode des éléments finis. Celle-ci est d’abord présentée en dimension un d’espace, puis en di mension deux, les éléments pouvant être de forme triangulaire ou rectangulaire. Une ana lyse de convergence de la méthode est présentée pour différentes approximations. Enfin, nous montrons sur un exemple simple en élasticité comment généraliser la méthode aux systèmes. Les problèmes d’évolution en temps (chaleur, ondes) font l’objet de la dernière partie. Les équations sont discrétisées préférentiellement par la méthode des différences finies. Plusieurs schémas d’approximation sont alors proposés et analysés en détail, par diffé rentes méthodes (méthode matricielle, utilisation de la transformée de Fourier, méthode de l’énergie). Une approximation mixte, couplant des différences finies en temps à des éléments finis en espace, est également proposée. Chaque partie se termine par un chapitre d’exercices, avec, pour la plupart d’entre eux, des corrections détaillées (ou des indications de corrections, selon la difficulté). Je tiens tout d’abord à remercier mes étudiants de maîtrise, pour leurs questions et re marques pertinentes, mais aussi mes collègues du laboratoire, avec qui j ’ai eu le plaisir d’enseigner ce cours, et plus particulièrement Cristinel Mardaré et Gérard Tronel, pour leur relecture minutieuse du manuscrit. Je les en remercie tous deux très chaleureuse ment. Avec une pensée toute particulière pour Gérard, et pour nos très nombreuses discussions sur le sujet. Table des matières I I n t r o d u c t i o n 1 I Motivation et rappels 3 1 Exemples de problèmes m odèles............................................................................................... 3 2 Quelques rappels et notations..................................................................................................... 8 2.1. Rappels d’analyse ........................................................................................................ 9 2.2. La géométrie du domaine............................................................................................... 10 2.3. Formules de G reen ........................................................................................................ 11 3 Classification des équations........................................................................................................ 12 3.1. Equations elliptiques, paraboliques et hyperboliques................................................. 12 3.2. Conditions aux lim ites.................................................................................................. 13 II Introduction aux distributions et aux espaces de Sobolev 15 1 Les distributions........................................................................................................................... 15 1.1. L’espace V ( ü ) ............................................................................................................... 15 1.2. L’espace V'(Çl) des distributions sur uploads/Litterature/ mathematiques-a-l-x27-universite-lucquin-brigitte-equations-aux-derivees-partielles-et-leurs-approximations-ellipses-2004.pdf