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1/32 Variables aléatoires Dr. Najoua Essamaoui Institut des Mines de Marrakech

1/32 Variables aléatoires Dr. Najoua Essamaoui Institut des Mines de Marrakech 13 Ocotobre 2020 Dr. Najoua Essamaoui (Cadi ayyad university) Variables aléatoires 13 Ocotobre 2020 1 / 32 2/32 Introduction Au lieu de s’intéresser directement à l’événement aléatoire, on va s’occuper de sa lecture à travers un eﬀet qu’il produit. C’est un peu la même démarche que suit quelqu’un qui se levat le matin et voulant connaitre la température extérieure, lit son thermomètre au lieu de sortir. Dr. Najoua Essamaoui (Cadi ayyad university) Variables aléatoires 13 Ocotobre 2020 2 / 32 3/32 Exemple introductif On lance un dé à six faces, l’univers des possible est Ω= {1, 2, 3, 4, 5, 6} On considère le jeu suivant : Si le résulat est pair, on gagne 3$. Si le résulat est 5, on gagne 5$. Si le résultat est 1 ou 3, on perd 2$. On a alors déﬁni une variable aléatoire X sur Ω= {1, 2, 3, 4, 5, 6} qui prend les valeurs −2, 3 ou 5 en d’autre termes X(1) = −2, X(2) = 3, X(3) = −2, X(4) = 3, X(5) = 5 X(6) = 3 Dr. Najoua Essamaoui (Cadi ayyad university) Variables aléatoires 13 Ocotobre 2020 3 / 32 4/32 Variable aléatoire Déﬁnition : Une variable aléatoire est une fonction déﬁnie sur un univers Ωet à valeur dans R X : Ω → R ω 7→ x L’ensemble des nombres réels que la variable aléatoire peut prendre est noté par : X(Ω) Il y a deux types de variables aléatoires Variable aléatoire discrète Variable aléatoire continue Dr. Najoua Essamaoui (Cadi ayyad university) Variables aléatoires 13 Ocotobre 2020 4 / 32 5/32 Variable aléatoire discrète 1 Variable aléatoire discrète Loi de probabilité Fonction de répartition Espérance, Variance, écart-type 2 Variable aléatoire continue Dr. Najoua Essamaoui (Cadi ayyad university) Variables aléatoires 13 Ocotobre 2020 5 / 32 6/32 Variable aléatoire discrète V.a discrète - Déﬁnition Déﬁnition : Une variable aléatoire X est dite discrète, si elle ne peut prendre qu’un nombre ﬁni ou dénombrable de valeurs réelles {xi}i∈J Dr. Najoua Essamaoui (Cadi ayyad university) Variables aléatoires 13 Ocotobre 2020 6 / 32 7/32 Variable aléatoire discrète Loi de probabilité V.a discrète - Loi de probabilité On considère la variable aléatoire X déﬁnie dans l’exemple précedent. Chaque résultat du lancer de dé est égale à 1 6 La probabilité que la variable aléatoire prenne la valeur 3 est : Dr. Najoua Essamaoui (Cadi ayyad university) Variables aléatoires 13 Ocotobre 2020 7 / 32 7/32 Variable aléatoire discrète Loi de probabilité V.a discrète - Loi de probabilité On considère la variable aléatoire X déﬁnie dans l’exemple précedent. Chaque résultat du lancer de dé est égale à 1 6 La probabilité que la variable aléatoire prenne la valeur 3 est : 3 6 = 1 2 et on note P(X = 3) = 1 2 De même on a : P(X = 5) = 1 6 P(X = −2) = 2 6 = 1 3 Dr. Najoua Essamaoui (Cadi ayyad university) Variables aléatoires 13 Ocotobre 2020 7 / 32 8/32 Variable aléatoire discrète Loi de probabilité Déﬁnition : Soit X une variable aléatoire discrète telle que X(Ω) = {ki}i∈J, sa loi de probabilité PX est déﬁnie par les probabilités pi = P(X = ki), qui vériﬁent X i∈J pi = 1 Dr. Najoua Essamaoui (Cadi ayyad university) Variables aléatoires 13 Ocotobre 2020 8 / 32 9/32 Variable aléatoire discrète Loi de probabilité Exemple Soit l’expérience aléatoire : "On tire une carte dans un jeu de 52 cartes". On considère le jeu suivant : Si on tire un coeur, on gagne 2$ Si on tire un roi, on gagne 5$ Si on tire une autre carte, on perd 1$ Soit X la variable aléatoire qui à une carte tirée associe un gain ou une perte. Détérminons la loi de probabilité de X. Dr. Najoua Essamaoui (Cadi ayyad university) Variables aléatoires 13 Ocotobre 2020 9 / 32 10/32 Variable aléatoire discrète Loi de probabilité Exemple La variable aléatoire X prend les valeurs 2, 5, −1 et 7 c-à-d : X(Ω) = {−1, 2, 5, 7} Si la carte tirée est un coeur (autre que le roi de coeur), alors X = 2 et on a P(X = 2) = 12 52 Dr. Najoua Essamaoui (Cadi ayyad university) Variables aléatoires 13 Ocotobre 2020 10 / 32 10/32 Variable aléatoire discrète Loi de probabilité Exemple La variable aléatoire X prend les valeurs 2, 5, −1 et 7 c-à-d : X(Ω) = {−1, 2, 5, 7} Si la carte tirée est un coeur (autre que le roi de coeur), alors X = 2 et on a P(X = 2) = 12 52 Si la carte tirée est un roi (autre que le roi de coeur), alors X = 5 et on a P(X = 5) = 3 52 Dr. Najoua Essamaoui (Cadi ayyad university) Variables aléatoires 13 Ocotobre 2020 10 / 32 10/32 Variable aléatoire discrète Loi de probabilité Exemple La variable aléatoire X prend les valeurs 2, 5, −1 et 7 c-à-d : X(Ω) = {−1, 2, 5, 7} Si la carte tirée est un coeur (autre que le roi de coeur), alors X = 2 et on a P(X = 2) = 12 52 Si la carte tirée est un roi (autre que le roi de coeur), alors X = 5 et on a P(X = 5) = 3 52 Si la carte tirée est le roi de coeur,alors X = 7 et on a P(X = 7) = 1 52 Dr. Najoua Essamaoui (Cadi ayyad university) Variables aléatoires 13 Ocotobre 2020 10 / 32 10/32 Variable aléatoire discrète Loi de probabilité Exemple La variable aléatoire X prend les valeurs 2, 5, −1 et 7 c-à-d : X(Ω) = {−1, 2, 5, 7} Si la carte tirée est un coeur (autre que le roi de coeur), alors X = 2 et on a P(X = 2) = 12 52 Si la carte tirée est un roi (autre que le roi de coeur), alors X = 5 et on a P(X = 5) = 3 52 Si la carte tirée est le roi de coeur,alors X = 7 et on a P(X = 7) = 1 52 Si la carte tirée n’est ni un coeur, ni un roi, alors X = −1 et on a P(X = −1) = 26 52 Dr. Najoua Essamaoui (Cadi ayyad university) Variables aléatoires 13 Ocotobre 2020 10 / 32 11/32 Variable aléatoire discrète Fonction de répartition Fonction de répartition Déﬁnition : On appelle fonction de répartition d’une variable aléatoire X, la fonction FX, telle FX(t) = P(X ≤t) = X k∈X(Ω),k≤t P(X = k) Propriétés : ∀t ∈R 0 ≤FX(t) ≤1 Si a < b, P(a ≤X ≤b) = FX(b) −FX(a) Dr. Najoua Essamaoui (Cadi ayyad university) Variables aléatoires 13 Ocotobre 2020 11 / 32 12/32 Variable aléatoire discrète Fonction de répartition Exemple Dr. Najoua Essamaoui (Cadi ayyad university) Variables aléatoires 13 Ocotobre 2020 12 / 32 13/32 Variable aléatoire discrète Espérance, Variance, écart-type Espérance, Variance, écart-type Déﬁnition : Soit X une variable aléatoire discrète déﬁnie sur un univers Ωtelle que X(Ω) = {k1, . . . , kn}. La loi de probabilité de X associe à toute valeure ki la valeur pi = P(X = ki) L’espérance mathématique de la loi de probabilité de X est : E(X) = p1k1 + · · · + pnkn = n X i=1 piki La variance de la loi de probabilité de X est : V (X) = n X i=1 pi(ki −E(X))2 L’écart-type de la loi de probabilité de X σ(X) = p V (X) Dr. Najoua Essamaoui (Cadi ayyad university) Variables aléatoires 13 Ocotobre 2020 13 / 32 14/32 Variable aléatoire discrète Espérance, Variance, écart-type Exemple Une étude sur la satisfaction de la clientèle d’un restaurant donne les résultats suivant : Très satisfait : 45% Satisfait : 30% Peu satisfait : 15% Pas satisfait : 10% Une personne est prise au hasard, et on considère X la variable aléatoire qui donne 0 si "pas satisfait", 1 si "peu satisfait", 3 si "satisfait et 4 si "très satisfait". Dr. Najoua Essamaoui (Cadi ayyad university) Variables aléatoires 13 Ocotobre 2020 14 / 32 15/32 Variable aléatoire discrète Espérance, Variance, écart-type Exemple La loi de probabilité de cette v.a est : Dr. Najoua Essamaoui (Cadi ayyad university) Variables aléatoires 13 Ocotobre 2020 15 / 32 15/32 Variable aléatoire discrète Espérance, Variance, écart-type Exemple La loi de probabilité de cette v.a est : p1 = P(X = 0) = 0.1 p2 = P(X = 1) = 0.15 p3 = P(X = 3) = 0.3 p4 = P(X = 4) = 0.45 Son espérance est : Dr. Najoua Essamaoui (Cadi ayyad university) Variables aléatoires 13 Ocotobre 2020 15 / 32 15/32 Variable aléatoire discrète Espérance, Variance, écart-type Exemple La loi de probabilité de cette v.a est : p1 = P(X = 0) = 0.1 p2 = P(X = 1) = 0.15 p3 = P(X = 3) = 0.3 p4 = P(X = 4) = uploads/Litterature/ variables-aleatoires.pdf