Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Lycée Louis-Le-Grand, Paris Année 2013/2014 Cours de mathématiques Partie IV –

Lycée Louis-Le-Grand, Paris Année 2013/2014 Cours de mathématiques Partie IV – Probabilités MPSI 4 Alain TROESCH Version du: 30 mai 2014 Table des matières 1 Dénombrement 3 I Combinatoire des ensembles ﬁnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 II Combinatoire des ensembles d’applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 II.1 Applications quelconques ; p-listes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 II.2 Lemme du berger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 II.3 Injections ; p-listes d’éléments distincts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 II.4 Surjections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 III Combinatoire des sous-ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 IV Bijection, Déesse de la Combinatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 V Tirages : les quatre modèles fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 VI Pourquoi la combinatoire ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 VI.1 Compter, calculer des probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 VI.2 Établir des égalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2 Espaces probabilisés 11 I Espaces probabilisables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 I.1 Notion d’expérience aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 II σ-algèbres d’événements (ou tribus) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 III Espaces probabilisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 III.1 Mesures de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 III.2 Probabilités uniformes sur un univers ﬁni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 III.3 Ensembles négligeables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 IV Conditionnement et indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 IV.1 Probabilités conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 IV.2 Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 V Les trois théorèmes fondamentaux du calcul des probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 V.1 Formule des probabilités totales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 V.2 Formule des probabilités composées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 V.3 Formules de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 VI Principes généraux du calcul des probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3 Variables aléatoires 25 I Aléas et variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 I.1 Déﬁnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 I.2 Loi d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2 Table des matières I.3 La variable f(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 I.4 Variables aléatoires discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 I.5 Loi de probabilité d’une variable aléatoire discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 II Moments d’une v.a.r.d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 II.1 Espérance mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 II.2 Variance (dispersion) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 II.3 Moments d’ordre k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 II.4 Espérance et variance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 III Lois discrètes classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 III.1 Loi uniforme . . . . . . . . . . . uploads/Litterature/ coursmpsi-proba.pdf