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Chapitre I : INTRODUCTION GENERALE I.1. SIMULATION I.1.1. Définition Effectuer

Chapitre I : INTRODUCTION GENERALE I.1. SIMULATION I.1.1. Définition Effectuer une simulation consiste à générer des données qui sont des réalisations de variables déterministes ou aléatoires selon des lois données, afin d'étudier et de comprendre le fonctionnement de systèmes économiques, industriels, scientifiques, politiques, etc. I.1.2. Objectifs Une simulation permet de provoquer le déroulement d'une expérience de façon rapide et économique, et permet aussi d'éviter les dangers liés à la réalisation de certaines expériences à l'échelle réelle. Elle permet aussi de répéter l'expérience en faisant varier les paramètres. Enfin elle aide à l'élaboration de techniques de prévision et d'amélioration. I.1.3. Types de simulations Il existe plusieurs types de simulations, à savoir :  Simulation statique Lorsque le temps n'a pas d'influence. Elle utilise des tirages aléatoires et souvent uniformes.  Simulation dynamique Concerne les systèmes qui changent dans le temps.  Simulation Déterministe Elle ne contient pas de variable aléatoire. Une variable d'entrée donnée produit toujours le même résultat.  Simulation Stochastique Lorsque les entrées et les sorties sont aléatoires. Dans notre travail, nous allons nous limiter au cas d’une simulation statique. I.1.4. Avantages et Inconvénients La simulation a de nombreux avantages et également des inconvénients. Ils peuvent être résumés comme suit : Avantages - la simulation est non destructrice, et les erreurs ne sont pas (trop) couteuses ; - le système considéré n’a même pas besoin d’exister ; 1 - nous pouvons répéter à volonté des expériences identiques ou similaires dans les mêmes conditions ; - nous pouvons souvent simuler un système beaucoup plus rapidement que son évolution dans la réalité, comme par exemple l’évolution d’un biosystème ou la formation du système solaire ; - nous pouvons simuler des modèles très complexes, plus réalistes que ceux que nous pourrions résoudre par des formules analytiques ou par les méthodes d’optimisation classiques ; - l’animation graphique peut permettre de voir évoluer le modèle. Inconvénients - le coût de mise en œuvre peut être significatif, en particulier la modélisation et la programmation peuvent demander beaucoup d’effort, de temps et d’argent; - les temps d’exécution peuvent devenir excessifs ; - la simulation ne fournit habituellement que des estimations ; - l’optimisation est beaucoup plus difficile par simulation que via les outils habituels de programmation mathématique ; - l’analyse statistique des résultats n’est pas toujours simple. I.2. VARIABLES ET VECTEURS ALEATOIRES I.2.1. Variables Aléatoires Le mot variable aléatoire étant très souvent utilisé en statistiques, il est important de comprendre sa signification. Dans la plupart des phénomènes aléatoires, le résultat d’une épreuve peut se traduire par une grandeur mathématique, très souvent représentée par un nombre entier ou un nombre réel. La notion mathématique qui représente efficacement ce genre de situation concrète est celle de variable aléatoire (notée également v.a.). Remarque : Nous nous limiterons ici au cas des variables aléatoires réelles (les entiers faisant bien sûr partie des réels). Etant donné un espace probabilisé d’espace fondamental Ωet de mesure de probabilitéP, on appelle variable aléatoire sur cet espace, toute application Xde Ω dans ℝ telle que X :ε (Ω)→R ω→X(ω) I.2.1.1. Type de variables aléatoires Il existe des variables aléatoires discrètes et des variables aléatoires continues. 2 I.2.2.1.1. Variables aléatoires discrètes Définition Une variable aléatoire est dite discrète si elle ne prend que des valeurs discontinues dans un intervalle donné (borné ou non borné). Exemples : - le nombre de petits par porté pour une espèce animale donnée, - le nombre de bactéries dans 100 ml de préparation, … Loi de probabilité Une variable aléatoire est caractérisée par l’ensemble des valeurs qu’elle peut prendre et par l’expression mathématique de la probabilité de ces valeurs. Cette expression s’appelle la loi de probabilité (ou distribution de probabilité) de la variable aléatoire. La loi de probabilité d’une variable aléatoire discrète est entièrement déterminée par les probabilités pi des évènements{X=xi}, xi parcourant l’univers imageX(Ω). La loi de probabilité est donnée par les(xi, pi)i. Afin de simplifier l’écriture, nous noterons pour la suite : P({X=xi}) équivalent à P (X=xi)ou pi . Une loi de probabilité n’est établie que si ∑ i pi=1, la somme étant étendue à tous les indicesi. Fonction de répartition On appelle fonction de répartition d’une variable aléatoireX, la fonction FX telle que : FX :R→R t →FX (t )=P( X<t) Concrètement la fonction de répartition correspond à la distribution des probabilités cumulées. Le maximum atteint par la fonction de répartition correspond à la valeur de probabilité 1 car ∑ i pi=1 I.2.2.1.2 Variables aléatoires continues Définition Une variable aléatoire est dite continue si elle peut prendre toutes les valeurs dans un intervalle donné (borné ou non borné). Exemples : - le masse corporelle des individus pour une espèce animale donnée, - taux de glucose dans le sang, … 3 Fonction densité de probabilité Dans le cas d’une variable aléatoire continue, la loi de probabilité associe une probabilité à chaque ensemble de valeurs définies dans un intervalle donné. En effet, pour une variable aléatoire continue, la probabilité associée à l’évènement {X=a} est nulle, car il est impossible d’observer exactement cette valeur. On considère alors la probabilité que la variable aléatoire X prenne des valeurs comprises dans un intervalle [a,b] tel queP(a≤X ≤b). Lorsque cet intervalle tend vers 0, la valeur prise par X tend alors vers une fonction que l’on appelle fonction densité de probabilité ou densité de probabilité. On appelle densité de probabilité toute application continue par morceaux : f : R→R x→f (x ) telle que : (P¿¿1)∀x∈R ,f (x)≥0¿ (P2)∫ −∞ + ∞ f (x )dx=1 Fonction de répartition Si comme pour les variables aléatoires discrètes, on définit la fonction de répartition de X par : FX :R→R t →FX (t )=P( X<t) alors la relation entre la fonction de répartition FX et la fonction densité de probabilité f (x ) est la suivante : ∀t ∈R, FX(t)=P(X<t )=∫ −∞ t f (x )dx I.2.1.2. Espérance et Variance Une loi de probabilité peut être caractérisée par certaines valeurs typiques correspondant aux notions de valeur centrale, de dispersion et de forme de distribution. I.2.1.2.1. Espérance mathématique L’espérance d’une variable aléatoire E (X )correspond à la moyenne des valeurs possibles de X pondérées par les probabilités associées à ces valeurs. C’est un paramètre de position qui correspond au moment d’ordre 1 de la variable aléatoireX. Cas d’une variable aléatoire discrète Si X est une variable aléatoire discrète définie sur un univers probabiliséΩ, on appelle espérance deX, le réel défini par : E (X )=∑ ω∈Ω X (Ω) P (Ω) . Cas d’une variable aléatoire continue Si X est une variable aléatoire continue de densitéf, on appelle espérance deX, le réel E (X ) défini par : E (X )=∫ −∞ +∞ x f (x )dx si cette intégrale est convergente. 4 I .2.1.2.2. Variance La variance d’une variable aléatoire var( X ) est l’espérance mathématique du carré de l’écart à l’espérance mathématique. C’est un paramètre de dispersion qui correspond au moment centré d’ordre 2 de la variable aléatoireX. Si X est une variable aléatoire ayant une espéranceE (X ), on appelle variance deXle réel : var ( X )=E (X 2)−[E (X )]² . I.2.2. VECTEUR ALEATOIRE Cas particulier d’un couple de variables aléatoires Densité conjointe Les définitions portant sur la loi jointe entre deux variables aléatoires X et Y impliquent que ces dernières soient définies sur le même espace fondamental Ω. Si X et Y sont définies respectivement sur les espaces fondamentaux Ω1 etΩ2, alors il faut envisager un espace qui englobe Ω1 et Ω2 appelé « espace-produit ». Il suffit alors de connaître la loi jointe des deux variables aléatoires ou loi de probabilité du couple (X ,Y ), fonction définie par : Cas discret : x , y →pxy=P ((X=x )et (Y=y )) Cas continu : pxy=P ((xa<X<xb)et ( yc<Y < yd)) Remarque : Ceci peut être généralisé à un nombre quelconque de variables aléatoires (vecteur aléatoire). I.3. INDEPENDANCE ENTRE VARIABLES ALEATOIRES Les propriétés concernant l’indépendance statistique entre deux variables aléatoires s’appliquent aussi bien aux variables aléatoires discrètes que continues. Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes définies sur le même univers Ω alors : Cas discret : P (X=x ,Y=y )=P (X=x )P(Y =y) Cas continu : f (x , y )=f (x )f ( y) Dans les deux cas on a : E (XY )=E ( X )E(Y) var(X+Y )=V ( X)+V (Y) 5 I.4. PROBABILITE CONDITIONNELLE I.4.1. Définition En théorie des probabilités, la probabilité conditionnelle d'un évènement A, sachant qu'un autre évènement B de probabilité non nulle s'est réalisé (ou probabilité de A, sachant B) est le nombre noté P( A∨B) défini par : P (A|B)= P( A∩B) P(B) Le réel P( A∨B) se lit « probabilité de A, sachant B ». P( A∨B) se note aussi parfoisPB(A). Mathématiquement, soient (Ω ,B, P) un espace probabilisé et B un évènement de probabilité non nulle (non quasi-impossible). A tout évènement A de B, nous associons le nombre noté P (A|B) ou PB(A) défini par : PB(A)=P(A∩B) P(B) Nous pourrions vérifier que l'application PB définie par A→PB( A) est une probabilité. uploads/Litterature/ chapitre-i-2version.pdf