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La régulation des systèmes complexes depuis Maxwell Jean-Michel Coron Laboratoi

La régulation des systèmes complexes depuis Maxwell Jean-Michel Coron Laboratoire J.-L. Lions, Université Pierre et Marie Curie http://www.ann.jussieu.fr/coron/ BnF, 11 mai 2011 Un texte, un mathématicien On governors, Proceedings of the Royal Society, vol. 16, 1868, pages 270–283, James Clerk Maxwell (1831-1879) Le pendule inversé sur un chariot F C Le pendule inversé sur un chariot : un équilibre C Instabilité de l’équilibre C Instabilité de l’équilibre C Le pendule inversé sur un chariot : équilibre stable C Stabilisation de l’équilibre instable C u : fonction de l’état u est un feedback Double pendule inversé (CAS, ENSMP/La Villette) La Clepsydre (horloge à eau) La Clepsydre (horloge à eau) Une invention de Ctésibios (3ème siècle avant J.-C.) récipient 3 récipient 2 vers le récipient 1 James Watt 1736. Naissance à Greenock, Écosse. 1769. Brevet de la chambre de condensation séparée pour la machine à vapeur. 1782. Invente la machine à double action. 1788. Adapte le régulateur à boules pour son utilisation sur la machine à vapeur. 1819. Mort à Heathﬁeld, Angleterre. Thomas Newcomen 1663-1729 *** Thomas Savery 1650-1715 28 30 30 30 30 30 30 31 31 46 46 29 32 27 35 37 38 43 42 42 40 42 38 38 39 39 39 A C B 44 41 26 34 35 33 45 44 45 45 37 38 James Clerk Maxwell 1831. Naissance à Edinburgh, Écosse. 1857. Adams Prize pour son article “On the Stability of the Motion of Saturn’s Rings”. James Clerk Maxwell 1831. Naissance à Edinburgh, Écosse. 1857. Adams Prize pour son article “On the Stability of the Motion of Saturn’s Rings”. 1861. Première image en couleur. Analyse des couleurs de 1855 à 1872. James Clerk Maxwell 1831. Naissance à Edinburgh, Écosse. 1857. Adams Prize pour son article “On the Stability of the Motion of Saturn’s Rings”. 1861. Première image en couleur. Analyse des couleurs de 1855 à 1872. 1866. Théorie cinétique des gaz (voir exposé de Laure Saint-Raymond). 1868. Article : “On governors”. 1873. Livre : “A treatise on electricity and magnetism” (équations de Maxwell). 1879. Mort à Cambridge, Angleterre. Systèmes dynamiques : le cas de la dimension 1 Notation : pour x : R →R, t 7→x(t) ∈R, on note x′(t) la dérivée de la fonction x en t. Soient f : R →R, t0 ∈R et x0 ∈R. On s’intéresse au problème suivant (problème de Cauchy) : trouver x : R →R tel que x′ = f(x), x(t0) = x0. (1) Exemple 1. Soit a ∈R. On prend f(x) = ax. Alors le problème de Cauchy a une solution et une seule. Elle est donnée par x(t) = x0ea(t−t0). Notons que cette solution tend vers 0 quand t →+∞pour x0 ̸= 0 si et seulement si a < 0. Exemple 2. On prend f(x) = x2, t0 = 0 et x0 > 0. Alors le problème de Cauchy a une solution et une seule. Elle est donnée par x(t) = x0 1 −tx0 , t ∈] −∞, 1/x0[. (2) Exemple 3. On prend f(x) = |x|1/2, t0 = 0 et x0 = 0. On a une inﬁnité de solutions : pour tout a ⩾0, x : R →R déﬁni par x(t) = 0 pour t dans ] −∞, a], (1) x(t) = (t −a)2 4 pour t dans ]a, +∞[, (2) est solution. Théorème Si f est dérivable en tout point et si sa dérivée est continue, le problème de Cauchy a une solution et une seule déﬁnie sur le plus grand intervalle ouvert possible. Si ce plus grand intervalle possible est ]a, b[ avec b ﬁni, alors |x(t)| →+∞quand t →b−. Représentation graphique Prenons, par exemple, f(x) = x −x3 = x(1 −x2). Sans restreindre la généralité, t0 = 0. On ne regarde que les t ⩾0. 0 1 −1 1 t x Représentation graphique Prenons, par exemple, f(x) = x −x3 = x(1 −x2). Sans restreindre la généralité, t0 = 0. On ne regarde que les t ⩾0. 0 1 −1 1 t x Représentation graphique Prenons, par exemple, f(x) = x −x3 = x(1 −x2). Sans restreindre la généralité, t0 = 0. On ne regarde que les t ⩾0. 0 1 −1 1 t x Représentation graphique Prenons, par exemple, f(x) = x −x3 = x(1 −x2). Sans restreindre la généralité, t0 = 0. On ne regarde que les t ⩾0. 0 1 −1 1 t x Systèmes dynamiques en dimension 2 Systèmes dynamiques en dimension 2 Systèmes dynamiques en dimension 2 Systèmes dynamiques en dimension 2 Systèmes dynamiques en dimension 2 Systèmes dynamiques en dimension 2 Systèmes dynamiques en dimension 2 Systèmes dynamiques en dimension 2 Systèmes dynamiques en dimension 2 Systèmes dynamiques en dimension 2 Systèmes dynamiques en dimension 2 Systèmes dynamiques en dimension 2 Systèmes dynamiques en dimension 2 Systèmes dynamiques en dimension 2 Systèmes dynamiques en dimension 2 Systèmes dynamiques en dimension 2 Systèmes dynamiques en dimension 2 Systèmes dynamiques en dimension 2 Systèmes dynamiques en dimension 2 Systèmes dynamiques en dimension 2 Systèmes dynamiques en dimension 2 Point d’équilibre : point où le vecteur est nul. Si on part en un point d’équilibre, on y reste. Systèmes dynamiques en dimension 2 Systèmes dynamiques en dimension 2 Systèmes dynamiques en dimension 2 Aleksandr Lyapunov (1857-1918) Thèse : Problème général de la stabilité du mouvement (1892 en russe, 1907 en français -voir numdam) • Déﬁnition de la stabilité asymptotique. Remarque Dans le cas des systèmes mécaniques, il y a beaucoup de travaux antérieurs reliés : Lagrange, Laplace, Dirichlet... Rappelons qu’un point d’équilibre est un point où le champ de vecteurs s’annule. Si on part en ce point on y reste. On veut maintenant donner une déﬁnition précise de la stabilité, de la stabilité asymptotique et de l’instabilité. Stabilité Stabilité Stabilité Stabilité Stabilité Attracteur Attracteur Attracteur Attracteur Attracteur n’implique pas stable Attracteur n’implique pas stable Attracteur n’implique pas stable Attracteur n’implique pas stable Attracteur n’implique pas stable Attracteur n’implique pas stable Attracteur n’implique pas stable Asymptotiquement stable Déﬁnition (Asymptotiquement stable) Soit xe un point d’équilibre de X : Rn →Rn, c’est-à-dire un point de Rn tel que X(xe) = 0. On dit que xe est asymptotiquement stable pour x′ = X(x) s’il est à la fois stable et attracteur pour x′ = X(x). On dit que xe est instable pour x′ = X(x) s’il n’est pas stable. Remarque Seule la stabilité asymptotique oﬀre des propriétés cruciales de robustesse ; par abus on dit donc parfois stable pour asymptotiquement stable dans le domaine de la régulation. Nœud (x′ 1 = −x1, x′ 2 = −2x2) Col (x′ 1 = x1, x′ 2 = −x2) Foyer (x′ 1 = −x2, x′ 2 = x1 −(x2/2)) Étude du régulateur de Watt : notations θ ϕ l m S Étude du régulateur de Watt : les équations dynamiques On pose x1 = θ, x2 = θ′ et x3 = ϕ′. Les équations de la dynamique sont x′ 1 = x2, (1) x′ 2 = sin(x1) cos(x1)x2 3 −g l sin(x1) − C 2ml2 x2, (2) x′ 3 = −Γr J + Γ0 J −k J (1 −cos(x1)), (3) où g est l’accélération de la pesanteur, Cx2 = Cθ′, avec C ⩾0, est un terme de frottement qui s’oppose au changement de x1, Γr > 0 est le couple résistant et Γ0 −k(1 −cos(x1)) est le couple moteur, J est le moment d’inertie du moteur autour de son axe de rotation. Le feedback est Γ0 −k(1 −cos(x1)). Les constantes Γ0 et k sont réglées par le système de tringles reliées au régulateur de Watt et à la vanne d’admission de la vapeur. Étude du régulateur de Watt : les points d’équilibre x1 = x1, x2 = x2, x3 = x3, est un point d’équilibre du régulateur si et seulement si x2 = 0, sin(x1) cos(x1)x2 3 −g l sin(x1) = 0, (1) −Γr J + Γ0 J −k J (1 −cos(x1)) = 0. (2) On suppose que sin(x1) ̸= 0. On a alors, d’après (1), cos(x1) = g lx2 3 , (3) et si l’on désire une vitesse angulaire x3 = ϕ′ = ω, on impose, d’après (2), à Γ0 et k de vériﬁer Γr = Γ0 −k 1 −g lω2 . (4) Une idée clé : la linéarisation On écrit x1 = x1 + y1, x2 = x2 + y2 = y2, x3 = x3 + y3 = ω + y3, avec y1, y2, et y3 petits. La dynamique devient                y′ 1 = y2, y′ 2 = sin(x1 + y1) cos(x1 + y1)(ω + y3)2 −g l sin(x1 + y1) − C 2ml2 y2, y′ 3 = −Γr J + Γ0 J −k J (1 −cos(x1 + y1)), (1) On développe au premier ordre : on remplace, pour toute fonction h, h(x1 + y1) par son approximation tangente en x1 : h(x1 + y1) ≃ h(x1) + h′(x1)y1 ; c’est-à-dire, sin(x1 + y1) ≃sin(x1) + cos(x1)y1, cos(x1 + y1) ≃cos(x1) −sin(x1)y1. Puis on néglige les produits uploads/Litterature/2011-bnf.pdf