Introduction aux systèmes dynamiques et aux bifurcations Notions abordées et re

Introduction aux systèmes dynamiques et aux bifurcations Notions abordées et renvois bibliographiques Emmanuel Risler 15 mars 2007 Espace des phases, champ de vecteurs et équation diérentielle associée, existence et unicité des solutions, solutions globales, équation diérentielle autonome, orbites, portrait de phases, ot, régularité des solutions par rapport à la condition initiale et par rapport à un paramètre : voir [Arn74, Ben05]. Champs de vecteurs sur une sous-variété, voir [Dem89, Arn74] . Equations diérentielles en dimension 1, dynamique globale, formulation comme une descente de gradient dans un potentiel, vocabulaire sur les bifurcations, bifurcations noeud-col, transcri- tique, et fourche et leurs signatures, voir [Fra05, Hub91] (et [Ris-edo-ex] pour les bifurcations transcritique et fourche). Pour davantage de notions générales sur les bifurcations et leur dé- ploiement et sur la stabilité structurelle, voir [Dem89, Arn80]. Théorème de Sard, voir [Dem89], théorème de Sard-Smale à paramètres, voir ? ? ?. Systèmes dynamiques linéaires à temps discret et continu, critères de stabilité, sous-espaces stable, instable, neutre, voir [Arn74, Ben05, Dem89]. Classi cation des champs de vecteurs linéaires en dimension deux, voir [Arn74, Dem89, Dem96]. Dynamique non linéaire au voisinage d'un point d'équilibre hyperbolique, théorème de Hartman- Grobman, voir [Ben05, Dem89] (sans démonstration, pour la démonstration voir ? ? ?, pour un aperçu sur la conjugaison diérentiable et les problèmes de résonnance voir [Dem89, Arn80]). Stabilité linéaire, stabilité asymptotique, stabilité au sens de Lyapunov, voir [Arn74, Ben05]. Théorème de la variété stable (instable) locale, voir [Ben05, Ioo99, Ioo]. Théorème de la variété centrale, voir [Ioo99, Ioo], variétés centre-stable, centre-instable, voir ? ? ?. Bifurcations de codimension 1 d'équilibres (bifurcation noeud-col, bifurcation de Hopf) voir [Ioo99, Dem89]. Orbites périodiques, application de premier retour, multiplicateurs de Floquet, critère de sta- bilité, voir [Dem89], pour le cas linéaire voir [Ben05]. Bifurcations de codimension 1 d'orbites périodiques (à amplitude et fréquence nies), voir [Ioo99, Dem89]. 1 Dynamique globale en dimension deux, théorème de Poincaré-Bendixon, voir [Ben05, Fra05]. Outils élémentaire pour l'étude de la dynamique globale en dimension deux, isoclines, quantité conservée, fonction de Lyapunov, voir [Ris-edo] et [Ris-edo-ex] pour des exercices. Indice d'un champ de vecteur, indice d'un équilibre hyperbolique, théorème de l'indice, voir [Arn74, Fra05] Bifurcations globales de codimension 1 en dimension 2 (homoclinisation à un équilibre de type noeud-col, homoclinisation à un équilibre de type selle) et leurs déploiements (méthode de Silnikov), théorème d'Andronov de classi cation des bifurcations de codimension 1 de solutions périodiques en dimension 2, voir [Guc83, Hub95]. Modèles pour la biologie, voir [Mur89, Ist05]. Equations diérentielles à deux échelles de temps, perturbations singulières, variété stable glo- bale, voir [Fra05]. Système de Fitz-Hugh-Nagumo, excitabilité, voir [Fra05]. Introduction aux dynamiques chaotiques, applications dilatantes de l'intervalle, horseshoe, voir citepalis,wiggins. Famille quadratique, renormalisation, transition vers le chaos par cascade de doublement de période, voir [Ber88]. Par ailleurs, vous pouvez retrouver une synthèse des notions les plus élémentaires dans mes notes et exercices rédigés pour les étudiants de l'INSA : [Ris-edo, Ris-mat, Ris-edo-ex]. Références [Arn74] V. I. Arnold, Équations diérentielles ordinaires, MIR, Moscou, 1974. [Arn80] V. I. Arnold, Chapitres supplémentaires à la théorie des équations diérentielles ordi- naires, MIR, Moscou, 1980. [Arn83] V. I. Arnold, Geometrical methods in the theory of ordinary dierential equations, Springer Verlag, 1983. [Arn89] V. I. Arnold, A. Avez, Ergodic Problems of Classical Mechanics, Addison-Wesley, 1989. [Ben05] S. Benzoni, Equations diérentielles ordinaires, http://math.univ-lyon1.fr/~benzoni/ EDO.pdf [Ber88] P. Bergé, Y Pomeau, Ch. Vidal, L'ordre dans le chaos, Hermann éditeurs, 1988. [Dem96] J.-P. Demailly, Analyse numérique des équations diérentielles, Collection Grenoble Sciences. Presses universitaires de Grenoble, Grenoble, 1996. [Dem89] M. Demazure, Catastrophes et bifurcations, Ellipses, 1989 (ou bien le polycopié iden- tique de l'Ecole Polytechnique : Catastrophes et bifurcations, 1987). [Fra05] J.-P. Françoise, Oscillations en biologie, Springer, 2005. [Guc83] J. Guckenheimer, P. Holmes, Nonlinear oscillations, dynamical systems, and bifurca- tions of vector elds, Springer, 1983. 2 [Hub91] J.H. Hubbard, B. West, Dierential Equations, A Dynamical Systems Approach Part I, Texts in Applied Mathematics N. 5 ,Springer-Verlag, N.Y., 1991. [Hub95] J.H. Hubbard, B. West, Dierential Equations, A Dynamical Systems Approach : Hi- gher Dimensional Systems, Texts in Applied Mathematics N. 18, Springer-Verlag, N.Y., 1995. [Ioo99] G. Iooss, M. Adelmeyer, Topics in bifurcation theory and applications, Adv. ser. Non- linear Dynamics 3, World Sci. 1999 (nouvelle édition). [Ioo] G. Iooss, Méthodes locales de théorie des systèmes dynamiques en dimension in nie (élé- ments), http://www.inln.cnrs.fr/IMG/pdf/DEA\_Iooss-3.pdf [Ist03] J. Istas, Modèles mathématiques pour l'écologie, polycopié de l'Ecole Polytechnique, 2003 (analogue au livre). [Ist05] J. Istas, Mathematical Modeling for the Life Sciences, Springer, 2005 (existe aussi en français : Introduction aux modélisations mathématiques pour les sciences du vivant, Sprin- ger, 2000). [Mur89] J. Murray, Mathematical Biology, Springer, 1989. [Pal82] J. Palis, W. de Melo, Geometric theory of dynamical systems, Springer, 1982. [Per00] L. Perko, Dierential equations and dynamical systems, Springer, 2000. [Ris-edo] E. Risler, notes de cours (INSA) sur les EDOs et la modélisation, http://maths. insa-lyon.fr/~risler/pdf_enseignement/EDO_ ches_cours.pdf [Ris-edo-ex] E. Risler, exercices (INSA) sur les EDOs et la modélisation, http://maths.insa-lyon. fr/~risler/pdf_enseignement/EDO_ ches_cours.pdf [Ris-mat] E. Risler, notes de cours (INSA) sur l'analyse matricielle, http://maths.insa-lyon.fr/ ~risler/pdf_enseignement/anal_mat_ ches_cours.pdf [Wig90] S. Wiggins, Introduction to applied nonlinear dynamical systems and chaos, Springer, 1990. 3 uploads/Litterature/ m2-references-biblio.pdf

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