Déterminants -  Sommaire 1. Déterminant d’une matrice carrée 1 1.1. Détermina

Déterminants -  Sommaire 1. Déterminant d’une matrice carrée 1 1.1. Déterminant d’une matrice carrée A . . 1 1.2. Interprétation en dimensions 2 et 3 . . . 2 1.3. Propriétés élémentaires . . . . . . . . . . 2 1.4. Déterminant de la transposée . . . . . . 3 1.5. Manipulation de colonnes . . . . . . . . . 3 1.6. Déterminant d’une matrice triangulaire . 3 1.7. Déterminant d’un produit . . . . . . . . . 4 1.8. Déterminant de 2 matrices semblables . 4 2. Calcul de déterminants 4 2.1. En dimension 2 et 3 . . . . . . . . . . . . 4 2.2. Dév. selon une ligne ou colonne . . . . . 5 2.3. Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3. Déterminant d’une famille de vecteurs 6 3.1. Déterminant d’une famille de vecteurs . 6 3.2. Interprétation géométrique . . . . . . . . 7 3.3. Caractérisation des bases . . . . . . . . 7 4. Déterminant d’un endomorphisme 7 4.1. Déterminant d’un endomorphisme dans une base . . . . . . . . . . . . . . . 7 4.2. Déterminant d’un endomorphisme . . . . 7 4.3. Déterminant de la composée . . . . . . . 7 4.4. Caractérisation des automorphismes . . 8 4.5. Déterminant de l’endomorphisme réci- proque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1. Déterminant d’une matrice carrée 1.1. Déterminant d’une matrice carrée A Théorème : On considère les applications de Mn(Š ) dans Š , qui, de plus, vérifient les propriétés suivantes : • elles sont linéaires par rapport à chaque colonne ; • qui sont multipliées par −1 quand on inverse deux colonnes ; • et telles que la matrice In a pour image 1. Il existe une et une seule application vérifiant ces trois conditions. Définition : Cette application est appelée le déterminant de la matrice, on note det(A) ce détermi- nant. Quand on écrit le déterminant avec une matrice explicite, on le note comme une matrice, mais avec des barres verticales au lieu de parenthèses, par exemple : 1 2 3 4 Démonstration : On admet l’existence et l’unicité du déterminant d’une matrice de Mn(Š ). On va simplement faire le calcul en dimension 2. Par linéarité par rapport à la première colonne, on a : a c b d = a 1 c 0 d + b 0 c 1 d . Par linéarité par rapport à la deuxième colonne, on obtient maintenant : a c b d = a       c 1 1 0 0 + d 1 0 0 1       + b       c 0 1 1 0 + d 0 0 1 1       . On remarque que : 1 1 0 0 = − 1 1 0 0 , en inversant les deux colonnes, c’est donc nul ! On a aussi : 0 0 1 1 = − 0 0 1 1 , en inversant les deux colonnes, c’est donc aussi nul ! Par définition : 1 0 0 1 = 1. Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert – Lycée Colbert – Tourcoing – http://c.caignaert.free.fr -  Déterminants Enfin : 0 1 1 0 = − 1 0 0 1 = −1. Finalement : a c b d = ad −bc. Cette démonstration n’est valable qu’en dimension 2, même si son principe est valable dans toutes les dimensions. . . 1.2. Interprétation en dimensions 2 et 3 On a bien vu en dimension 2 qu’on retrouvait, avec les propriétés demandées, le calcul classique du déterminant. Le même calcul, trois fois plus long, nous donnerait le déterminant connu en dimension 3 également. On rappelle l’interprétation géométrique de ces déterminants lorsque les colonnes sont les coordon- nées de 2, ou 3, vecteurs dans une base orthonormale directe. On appelle ces vecteurs  − → u , − → v  en dimension 2, et,  − → u , − → v , − → w  en dimension 3. • En dimension 2, le déterminant est l’aire algébrique du parallélogramme construit sur − → u et − → v . Cette aire est positive si  − → u , − → v  est direct, négative si c’est indirect. • En dimension 3, le déterminant est le volume algébrique du parallélépipède construit sur − → u , − → v et − → w . Ce volume est positif si  − → u , − → v , − → w  est direct, négatif si c’est indirect. 1.3. Propriétés élémentaires Théorème : Le déterminant d’une matrice qui a une colonne nulle est nul. Démonstration : cette colonne est égale à 0 fois cette colonne, par linéarité le déterminant est donc nul. Théorème : Le déterminant d’une matrice qui a deux colonnes égales est nul. Démonstration : En échangeant les deux colonnes égales de A : • on ne change pas le déterminant, puisque c’est deux fois le même ; • mais on le multiplie par −1, en appliquant une des propriétés caractéristiques. On a donc : det(A) = −det(A) ⇒det(A) = 0. Théorème : ∀A ∈Mn(Š ), ∀λ ∈Š , det(λA) = λn det(A) Démonstration : On fait simplement jouer n fois la linéarité, successivement par rapport à chaque colonne. Théorème : Soit D une matrice diagonale, alors, le déterminant de D est le produit des éléments de la diagonale. Démonstration : On fait encore simplement jouer n fois la linéarité, successivement par rapport à chaque colonne. On obtient le produit des éléments de la diagonale et du déterminant de In. Ce dernier valant 1 par propriété élémentaire, le déterminant a bien la valeur annoncée. Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert – Lycée Colbert – Tourcoing – http://c.caignaert.free.fr Déterminants -  1.4. Déterminant de la transposée Théorème : Soit A ∈Mn(Š ), det  A T = det(A) Cette propriété, délicate à démontrer est admise. En pratique, cela signifie que toute propriété sur les colonnes est applicable sur les lignes. Par exemple, si A a deux lignes identiques, son déterminant est nul : A T ayant deux colonnes égales a un déterminant nul ! 1.5. Manipulation de colonnes Théorème : On ne change pas la valeur d’un déterminant si, à une colonne, ou une ligne, on ajoute une combinaison linéaire des autres colonnes, ou lignes. Démonstration : On fait jouer la linéarité par rapport à la colonne, ou la ligne, modifiée. On se retrouve avec le déterminant de départ et une somme de déterminants nuls puisqu’ils ont deux colonnes, ou lignes, égales. Remarque : On utilise souvent ceci pour « faire apparaitre des 0 » dans une ligne ou une colonne. 1.6. Déterminant d’une matrice triangulaire. Théorème : ∆= a1 x · · · · · · y 0 a2 ... . . . . . . ... ... ... . . . . . . ... an−1 z 0 · · · · · · 0 an = a1 × a2 × . . . × an−1 × an Autrement dit, le déterminant d’une matrice triangulaire est le produit des éléments de la diago- nale. Démonstration : On factorise par a1, et, en enlevant le bon nombre de fois le premier vecteur aux autres, on amène des 0 sur la première ligne et on obtient : ∆= a1 x · · · · · · y 0 a2 s t . . . ... ... ... . . . . . . ... an−1 u 0 · · · · · · 0 an = a1 × 1 x · · · · · · y 0 a2 s t . . . ... ... ... . . . . . . ... an−1 u 0 · · · · · · 0 an = a1 × 1 0 0 0 0 0 a2 s t . . . ... ... ... . . . . . . ... an−1 u 0 · · · · · · 0 an On recommence ensuite avec a2. On obtient ainsi de suite par une récurrence admise : ∆= a1 × a2 × . . . × an−1 × an × 1 0 · · · · · · 0 0 1 ... . . . . . . ... ... ... . . . . . . ... 1 0 0 · · · · · · 0 1 = a1 × a2 × . . . × an−1 × an Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert – Lycée Colbert – Tourcoing – http://c.caignaert.free.fr -  Déterminants 1.7. uploads/Litterature/ chap-02-determinants-pdf 2 .pdf

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