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Cours probastat pdf Cours de Probabilité et de Statistique cours de JB Boyabé UC-SJP - année C Analyse combinatoire dénombrement Introduction On appelle analyse combinatoire la théorie mathématique du dénombrement Pour comprendre le dénombrement on peut p

Cours de Probabilité et de Statistique cours de JB Boyabé UC-SJP - année C Analyse combinatoire dénombrement Introduction On appelle analyse combinatoire la théorie mathématique du dénombrement Pour comprendre le dénombrement on peut partir de l ? exemple suivant Exemple on considère un système de communication composé de n antennes identiques alignées Aussi longtemps que deux antènes consécutives ne seront pas défectueuses la communication dans le système fonctionnera Ce qui veut dire aussi que dès que deux antennes qui se suivent sont en pannes la commuication ne fonctionnera pas Dans l ? exemple o? n on peut lister six con ?gurations du systèmes Table o? signi ?e que l ? antenne fonctionne et signi ?e qu ? elle est défectueuse On voit alors que notre système sera fonctionnel dans les trois premières con ?gurations mais pas dans les trois dernières La probabilité que le système fonctionne est donc de On vient par cet exemple de compter dénombrer le nombre de manières di ?érentes selon lesquelles le système fonctionne par rapport au nombre total de manières Principe fondamental du dénombrement Le principe fondamental du dénombrement établit que si une expérience peut produire m résultats et une autre n alors il y a m ? n résultats possibles lorsqu ? on considère ces deux expériences ensemble Théorème Si r expériences doivent être réalisées et sont telles que la première peut produire l ? un quelconque de n résultats et si pour chacun d ? entre eux il y a n résultats possibles pour la ème expérience et si pour chaque résultat des deux premières expériences il y en a n pour la ème expéreince ainsi de suite il y aura alors au total n ? n ? ? nr résultats pour les r expériences prises ensemble C Exemple Le comité de plani ?cation d ? un collège est constitué de étudiants de ère année de ème de ème et de dernière année Un sous-comité de étudiants comportant un représentant de chaque classe doit être choisi Combien peut- on former de sous-commité Solution On peut consédérer le choix d ? un sous-comité comme le résultat combiné de expéri- ences distinctes chacune consistant à choisir un unique représentant dans l ? une des classes Par conséquent en application de la version généralisée du principe fondamental il y a ' ? ? ? sous-comités possibles Exemple Combien de plaques minéralogiques portant un matricule de caractères sont des lettres et les dernières des chi ?res Solution plaques ' Rappel il y a lettres de l ? alphabet et chi ?res dans N de à Exemple dans l ? exemple précédent combien de plaques mnéralogiques pourrait-on avoir si l ? on excluait que les lettres ou les chi ?res se répètent Solution plaques Permutations Combien existe-t-il d ? arrangements ordonnées de lettres a b et c Réponse car on a abc acb bac cab bca et cba Chacun de ces arrangements est appelé permutation par convention Il y a donc permutations des éléments d ? un ensemble