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sciences supISNMGÉCÉIIICMCAL DCLDLICMGg 50 problèmes d’analyse Jean-Michel Ghid

sciences supISNMGÉCÉIIICMCAL DCLDLICMGg 50 problèmes d’analyse Jean-Michel Ghidaglia Master • capes • Agrégation Problèmes corrigés Corrigés détaillés Méthodes 50 PROBLÈMES D’ANALYSE 50 PROBLÈMES D’ANALYSE Jean-Michel Ghidaglia Professeur à l’École normale supérieure de Cachan Une précédente version de cet ouvrage a été publiée aux éditions Springer dans la collection «Scopos» sous le titre Petits problèmes d’analyse Illustration de couverture : Gettyimage® © Dunod, Paris, 2008 ISBN 978-2-10-053810-2 Table des matières AVANT-PROPOS vii 1 • ÉNONCÉS DES 50 PROBLÈMES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 Inégalités fonctionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Topologie dans des espaces vectoriels normés de dimension inﬁnie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Autour des fonctions implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Calcul des variations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5 Équations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.6 Séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.7 Sommes inﬁnies. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2 • INDICATIONS.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3 • SOLUTIONS DÉTAILLÉES ET MÉTHODES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 INDEX 221 Avant-propos Cet ouvrage rassemble 50 problèmes qui couvrent une large part de l’Analyse mathé- matique que l’on rencontre au cours de la Licence à l’Université et dans les classes préparatoires aux grandes écoles scientiﬁques. Il s’agit de l’analyse mathématique de base que doivent maîtriser les étudiants en Master ainsi que les candidats aux CAPES et à l’Agrégation de mathématiques. À la section 1, 46 des problèmes sont énoncés de manière « économe » aﬁn que le lecteur puisse réellement s’exercer à chercher plusieurs voies d’attaque pour la résolution de la question posée. Si ces recherches sont infructueuses, des indications (question après question) sont fournies à la section 2. La section 3 du livre étant quant à elle constituée par des corrigés détaillés où l’on insiste particulièrement sur les méthodes classiques en Analyse. À cet effet, un paragraphe intitulé « Commentaires » complète chaque corrigé aﬁn d’y apporter un éclairage supplémentaire. D’autre part 4 des problèmes de la section 1 (numérotés 10, 24, 36 et 45) sont des problèmes dont l’énoncé est extrêmement détaillé et de ce fait ils ne nécessitent pas d’indication. Ils sont tout autant corrigés en profondeur et ce corrigé est encore suivi de commentaires. Il est à noter que les 50 problèmes sont entièrement indépendants tant au niveau de leur énoncé que de leur solution. Il est donc possible (et conseillé) de les aborder dans un ordre arbitraire. Il ne s’agit pas d’un livre d’exercices, il ne s’agit pas non plus (loin s’en faut) d’un livre de cours. Il s’agit d’un manuel pour apprendre des mathématiques et être capable d’en comprendre certains des ressorts. En effet, il est séduisant de croire que les mathématiques (à condition parait-il qu’elles soient « correctement » présentées) peuvent s’apprendre linéairement. On commence par les déﬁnitions, puis les théorèmes en passant par quelques lemmes et propositions, on observe quelques exemples, on fait quelques exercices et ensuite on passe à une autre leçon. Il n’en n’est rien (heureusement), les mathématiques - comme toutes les autres sciences - s’apprennent et se comprennent par des allers et retours incessants entre théorie et application, calculs sordides et réﬂexion. Nous souhaitons que ceux qui travaillerons à l’aide de cet ouvrage (complété par un cours de base d’Analyse) pourrons ainsi en tirer utilement partie. © Dunod – La photocopie non autorisée est un délit viii Avant-propos Le principe de la numérotation est le suivant. Le premier numéro se rapporte à l’énoncé, le deuxième est le numéro de la section alors que le troisième indique la question traitée. Cet ouvrage est une version révisée et augmentée du volume « Petits problèmes d’analyse » paru en 1999 chez Springer et aujourd’hui épuisé. Je tiens à remercier Véronique Almadovar qui a assuré la réalisation technique du manuscrit et Emma- nuel Lorin pour sa relecture attentive et critique de son contenu. Ce travail n’aurait certainement pas été possible sans le support intellectuel que procure l’ambiance créatrice du Centre de Mathématiques et de Leurs Applications, laboratoire com- mun à l’École Normale Supérieure de Cachan et au Centre National de la Recherche Scientiﬁque (CNRS). Jean Michel Ghidaglia jmg@cmla.ens.cachan.fr 1 Énoncés des 50 problèmes Nous donnons ci-dessous les énoncés. Bien que totalement indépendants entre eux, ils ont été regroupés par thèmes principaux. 1.1 INÉGALITÉS FONCTIONNELLES Un point de vue très fécond consiste à considérer les fonctions (d’une ou de plusieurs variables réelles par exemple) comme des éléments d’un espace vectoriel normé, ou parfois comme des points d’un espace afﬁne normé. L’idée de base consiste à essayer de transposer à ces espaces, en général de dimension inﬁnie, les résultats « habituels » dans Rn pour en déduire des résultats sur les fonctions auxquelles on s’était initialement intéressé. Un exemple classique est le théorème du point ﬁxe de Picard qui permet, lorsqu’il est invoqué sur un espace vectoriel normé complet de fonctions, de montrer l’existence de solutions pour une équation différentielle (voir par exemple le problème 36). Ces espaces vectoriels où vivent les fonctions en ques- tion — C([a, b]; R), C1(R, Rn), . . . — sont de dimension inﬁnie. Deux différences essentielles apparaissent alors : • ces espaces ne sont pas forcément complets, c’est justement cette propriété qui est cruciale pour l’application du théorème de point ﬁxe de Picard, • on dispose sur ces espaces de plusieurs normes qui n’ont aucune raison d’être équivalentes entre elles. Dans cette première série de problèmes, il s’agit d’établir diverses relations entre normes sur des espaces de fonctions réelles d’une variable réelle. Le problème 5 est consacré à certaines inégalités de Sobolev pour les fonctions déﬁnies sur Rn. Ces inégalités sont des outils très puissants pour l’étude des équations aux dérivées partielles, notamment celles de la physique mathématique : équation de la chaleur, équation de Schrödinger, équations de Navier-Stokes, etc. Nous renvoyons aussi aux commentaires à ce problème à la page 76. 2 1 • Énoncés des 50 problèmes Énoncé 1 Soit u ∈C1([0, 1]; R) avec u(0) = u(1) = 0. 1.1.1. Montrer que 1 0 u2(x) dx ⩽4 1 0 u′(x)2 dx. 1.1.2. Notons S = {u ∈C1([0, 1]; R), u(0) = u(1) = 0, 1 0 u′(x)2dx = 1}. On admet qu’il existe v ∈S tel que 1 0 v2(x) dx = max w∈S 1 0 w2(x) dx. (⋆) Expliquer pourquoi l’existence d’un tel v n’est pas immédiate. 1.1.3. Montrer que seules deux fonctions v ∈C2([0, 1]) ∩S peuvent vériﬁer (⋆). Calculer alors c0 ≡ 1 0 v2(x)dx. 1.1.4. Montrer que pour tout u ∈C1([0, 1]; R) avec u(0) = u(1) = 0 on a 1 0 u2(x) dx ⩽1 p2 1 0 u′(x)2 dx. 1.1.5. Montrer cette inégalité sans faire l’hypothèse qu’il existe v ∈S vériﬁant (⋆). En déduire alors qu’il existe uploads/Management/ 50-problemes-danalyse.pdf