Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Méthodes numériques en Ingénierie Présenté par: Dr. J. Ferahtia I. Introduction

Méthodes numériques en Ingénierie Présenté par: Dr. J. Ferahtia I. Introduction générale Un grand nombre de problèmes tels que les équations du second degré, les intégrales admettant une primitive facile à calculer, les équations différentielles possède une solution exacte ou analytique. Cependant Des problèmes tels que les équations polynomiales de degrés >5 , la majorité des équations différentielles, les problèmes dont on ne connaît pas la solution analytiques, problèmes dont la solution analytique est Inconnue ou inexploitable exemple:équations transcendantes telles: a.cos2x+b.ex+c=0 y’’ cos2x+x3y’+cy=0 ne peuvent être résolus de manière exacte. d’où Le seul moyen de calculer la solution, lorsqu’elle existe, est de l’approximer numériquement. C’est le domaine de l’analyse numérique. Le chapitre des mathématique qui a pour but d’arriver aux valeurs numériques s’appelle analyse numérique. Introduction générale La grande partie des calculs numériques se fait sur ordinateur. Mais pour que les machines soient capable de faire des calculs, il faut les programmer, donc …….écrire des programmes, qui est l’objet principale de l’analyse numérique. Introduction générale Cours d’analyse numérique Définition générale : l’analyse numérique est le domaine des mathématiques où l’on étudie des algorithmes permettant de résoudre des problèmes de l’analyse mathématiques au moyen de calcul arithmétique. Définition mathématique : la mathématique de l’analyse numérique s’intéresse à l’étude des conditions d’existence et d’unicité de la solution ainsi qu’aux performances du procédé de résolution (convergence, stabilité, précision…). Définition algorithmique : la résolution algorithmique d’un problème comporte : - L’approximation d’un problème mathématique décrit en termes d’opérateurs de l’analyse (i.e. dérivées, intégrales,..) par un problème numérique défini au moyen des seuls opérateurs arithmétiques. - L’élaboration d’un procédé de résolution de ces problèmes numériques associé. Introduction générale Sciences de l’ingénieur Mathématiques Informatique Analyse numérique Introduction générale Modélisation objectif : • décrire le comportement de systèmes physiques pour prédire, optimiser, contrôler le comportement de ces systèmes • mise en équation des phénomènes physiques observés • sous-entendu : hypothèses, domaine de validité limité, description partielle parfois erronée de la réalité, ... Analyse mathématique objectif : • étude des équations précédentes • existence, unicité de solutions • nature des solutions : stables, instables, régulières, singulières, ... Résolution numérique et programmation beaucoup de problèmes n’ont pas de solutions analytiques : recours aux ordinateurs pour la résolution • choix (et étude) de la méthode de résolution • écriture des algorithmes de résolution • analyse de la solution Simulations numériques de phénomènes complexes "Scientific Computing / Computational Sciences" Objectifs du calcul numérique  proposer des algorithmes pour calculer une solution approchée  contrôler les différentes sources d’erreurs propres à l’approximation numérique  tenir compte du fait que plusieurs algorithmes peuvent être utilisés pour résoudre le même problème.  fournir des valeurs numériques, c-à-d en fin du compte des nombres réels. Introduction générale Domaines d’application physique, mécanique, géophysique, aéronautique, génie civil, électromagnétisme, météorologie, sciences de l’environnement (pollution, nappes phréatiques, inondations, ...), biologie, chimie, finance, ... Introduction générale Cours d’analyse numérique Les Méthodes numériques élémentaires couvre plus particulièrement les sujets suivants : – Analyse d’erreurs ; – Racines d’une équation algébrique ; – Systèmes d’équations linéaires et non linéaires ; – Méthodes itératives et systèmes dynamiques ; – Interpolation ; – Différentiation et intégration numériques ; – Equations différentielles ordinaires. Introduction générale Calculs numériques approchésChapitre I Il fait combien le calcul de : ? 2 2 * 2  Réponse : Il fait combien le calcul de : 1-3*(4/3-1)? Réponse : Chapitre I: Calculs numériques approchés Autre exemple : Si on demande à un ordinateur d’effectuer les sommations suivantes En utilisant les quantités : a=1020, b=-1020, c=1 1ère opération : (a+b)+c= 2ème opération a+(b+c)= 0 1 Chapitre I: Calculs numériques approchés Pourquoi l’ordinateur fait-il tant d’erreurs? Réponse : Parce qu’il ne connaît qu’un nombre finit de nombre ! Chapitre I: Calculs numériques approchés Qu’est ce qu’une erreur? D’où viennent les erreurs? Quelles conséquences ont-elles? Comment analyser leurs effets? À chaque fois qu’on effectue un calcul numérique, l’on est confronté aux erreurs Chapitre I: Calculs numériques approchés I-1 Nombre approché Un nombre approché x ˆ est un nombre légèrement différent du nombre exact x et qui dans le calcul remplace ce dernier. I-2 Erreur absolue On appel erreur absolue dx d’un nombre approché la valeur absolue de la Différence entre le nombre exacte x et le nombre approché x x x ˆ   d L’écart relatif est le rapport :   x x x x x x x       1 ˆ ou ˆ x ˆ Chapitre I: Calculs numériques approchés I-3 Erreur relative L’erreur relative ex d’un nombre approché est la valeur absolue de l’écart relatif x x x x x x x d  e     ˆ 0  x si L’erreur relative fournit une information plus pertinente sur la grandeur réelle de l’erreur. Chapitre I: Calculs numériques approchés I-4 Sources d’erreurs Les quatre principales sources d’erreurs :  erreurs de modélisation  erreurs sur les données  erreurs dues à la représentation des nombres sur ordinateurs  erreurs de troncatures ou de discrétisation Chapitre I: Calculs numériques approchés • les erreurs de modélisations proviennent de l’étape de mise d’un problème sous forme mathématique (la mise en équation) • pour réduire le degré de complexité d’un phénomène physique, erreur de modélisation • l’erreur de modélisation peut être contrôlée par un choix convenable du modèle mathématique. Chapitre I: Calculs numériques approchés I-5 Erreurs sur les données  elles sont liées à l’imprécision des mesures physiques  elles peuvent être réduites en améliorant la précision des mesures I-6 Représentation décimale approchée des nombres réelles La notation la plus utilisée est la représentation en virgule flottante: p b m x .   où : x: nombre réel b: base de numération m: la mantisse p: exposant Sur ordinateur les calculs sont généralement en base 2 et les résultats affichés en base 10. La mantisse m est écrite en virgule fixe possédant un nombre maximum N de chiffre imposé par la mémoire de l’ordinateur: 1 , ..... .......... , 0 1 1 1 0         N k k k n m b b a a a a m La précision relative d’un chiffre réel est donnée par: N N b b b m m x x         1 1 Puisque l’exposant p est compris entre deux nombres entiers, U p L   Alors, les nombres réels pouvant être représentés sur machine sont compris Entre deux valeurs xmin et xmax: m ax 1 m in x b x b x U L      Exemple : Considérant une notation binaire b=2 à virgule flottante qui utilise 1 bit pour le signe m=23 bits pour la mantisse et 8 bits (signe inclus) pour l’exposant p.   1 2 m ax 7 2 2    U x Si un nombre réel quelconque xIR n’appartient pas au sous ensemble IF(b,m,L,U)IR, des nombres réels qui peuvent être représentés et manipulés sur ordinateur, l’approche typique est d’arrondir x de façon à ce que le nombre arrondi Appartienne à IF. Chapitre II Résolution d’équation à une variable de type f (x)=0 Zéros de fonctions non- linéaires II-1 Principe Les méthodes de résolution de f (x)=0 sont des méthodes itératives. Elles consistent à construire une suite xn convergente, le plus rapidement possible, vers x*. Chapitre II: Résolution d’équations à une variable II-2 Rappels Chapitre II: Résolution d’équations à une variable Cours d’analyse numérique Résoudre l’équation : f(x)=0 Objectif Trouver les racines ri Points d’intersections de f(x) avec l’axe des x r1 r2 r3 r4 y=f(x) x Chapitre II: Résolution d’équations à une variable Cours d’analyse numérique Objectif r1 r2 r3 r4 y=f(x) x 1- Séparation des racines: On cherche pour la (m+1)ième racine, un intervalle [a,b] tq: f(a).f(b)<0 2- Méthodes de séparation des racines: Si f(x) est continue sur [a,b] et N le nombre de racines de f(x)=0, alors: f(a).f(b)>0 N est nul ou pair f(a).f(b)<0 N est impair 3- Si f(x) est strictement monotone dans [a,b] alors l’existence d’une racine implique son unicité. a b Chapitre II: Résolution d’équations à une variable Cours d’analyse numérique II-2 Récurrence II-2-1 Formules de récurrence Terme actuel xn Terme au stade précèdent Xn-1 Récurrence simple Terme actuel xn Récurrence multiple Plusieurs termes précédents xn-1,xn-2,…,xn-k S1=a1 S2=a1+a2=S1+a2 S3=a1+a2+a3=S2+a3 ….. Sk=a1+a2+…+ak=Sk-1+ak … Sn=a1+a2+…….+an=Sn-1+an Suite de Fibonacci t0=1 t1=1 t2=2 t3=3 t4=5 …….. Suite de Chebychev T0(x)=1 T1(x)=x T2(x)=2x2-1 T3(x)=4x3-3x ….. Tk+1(x)=2xTk(x)-Tk-1(x) tk=tk-1+tk-2 Chapitre II: Résolution d’équations à une variable Cours d’analyse numérique II-2-2 Principe d’itérations Approximation de la solution vraie n- itérations Autre approximation plus Proche de la solution vraie (convergence pas toujours assurée) Début Estimation initiale de la solution : x0 x1=F(x0) x2=F(x1) …. xk=F(xk-1) …. xn=F(xn-1) Converge X* solution du problème Inconvénient Ne converge pas tout le temps. Chapitre II: Résolution d’équations à une variable Méthode I: méthode des substitutions successives (point fixe) Chapitre II: Résolution d’équations à une variable II-3 Principe de la méthode des substitution successives ou méthode du point fixe Le principe uploads/Management/ analnum-1 1 .pdf